Лекція №14. Перша крайова задача для гіперболічного рівняння

1.Неоднорідне рівняння з нульовими граничними умовами.

Розглянемо неоднорідне рівняння

Розв’язок шукають у вигляді .

Підставляючи ряд Фур’є замість , , отримаємо, що задовольняє рівнянню

,

при чому , задовольняє початковим умовам

що однозначно визначає .

2.Перша крайова задача.

Знайти розв’зок

Введемо невідому функцію за допомогою рівності , де розв’язок рівняння ,

що задовольняє умовам

Виберемо таким чином, щоб , , тобто .

Тим самим загальна крайова задача для зводиться до задачі для функції з нульовими граничними умовами (див. п.1).

Приклад. Розв’язати задачу:

.

Оскільки

Маємо , де розв’язки відповідних задач

Знайдемо .

Відповідне характеристичне рівняння для кожного п є , отже для кожного п, маємо фундаментальну систему розв’язків ; - розв’язок неоднорідного рівняння при шукаємо у вигляді підставляючи до рівняння отримаємо отже .

Таким чином , та

і

при

.

Отже маємо

Розв’язок задачі має вигляд .

Практичне заняття №10. Метод Фур’є. Гіперболічні рівняння

Необхідні відомості: 1. Перша крайова задача.

2. Вигляд розв’язку першої крайової задачі з нульовими умовами на границі.

3. Розв’язання першої крайової задачі у загальному випадку.

Задачі.

1.1 Струна закріплена на кінцях , має у початковий момент вигляд параболи . Визначити відхилення точок струни від осі ОХ, якщо початкова швидкість відсутня.

1.2 Визначити форму струни у момент , якщо , ,

.

2.1 Розв’язати задачу

2.2

Задачі для самостійної роботи.

1.

.

2. Струна закріплена на кінцях , . У початковий момент має вигляд ламаної , Знайти форму струни в момент , якщо початкові швидкості відсутні.

3.

4. ,

, .

5. ,

6. ,

7.

8. , ,

9. ,

10. ,

Лекція №15. Рівняння параболічного типу

1.Постанова крайових задач.

Враховуючи, що параболічне рівняння описує процес розповсюдження тепла (дифузії) в стержні, то ми отримаємо наступні задачі.

1. Задача з початковою умовою ( у випадку довгого стержня, коли граничні умови не впливають) :

знайти розв’язок параболічного рівняння на області що задовольняє умові .

2. У випадку, коли ділянка, що цікавить, знаходиться поблизу одного з кінців стержня, то розглядають задачу для напівскінченого стержня:

Знайти розв’язок рівняння теплопровідності на області , що задовольняє умови

3. У випадку, коли момент часу, що цікавить, достатньо віддалений від початкового, тоді початкова умова не впливає і розглядають задачу без початкової умови:

знайти розв’язок параболічного рівняння на області , що задовольняє умови:

Можна розглядати і інші варіанти.

Перша крайова задача:

Знайти розв’язок рівняння , що задовольняє початковій умові , та граничним умовам

де - неперервні і .

По відношенню до кожної з задач виникають запитання:

1) єдиності розв’язку,

2) існування розв’язку.

Ситуація аналогічна випадку з гіперболічним рівнянням.