3. Задачі на нескінченій та напівнескінечній прямій.

1. Знайти обмежену функцію визначену на області , що задовольняє рівнянню і початковій умові .

Будемо шукати розв’язок в вигляді . Підставляючи в рівняння отримаємо

( - параметр).

Маємо рівняння для і відповідно

Розв’язуючи ці рівняння знайдемо частинний розв’язок вихідного рівняння

. Розглянемо функцію

(вона задовольняє рівняння, так як суперпозиція розв’язків – розв’язок). Вимагаючи виконання початкової умови при отримаємо

(із перетворення Фур’є) отримаємо

.

Підставляючи в , остаточно будемо мати

Таким чином ,

називається інтегралом Пуассона, неперервно примикає до (доведення дивіться [5]) і являється єдиним розв’язком задачі для будь якої обмеженої .

Приклад. Знайти розв’язок рівняння теплопровідності, якщо початкова температура постійна але різна для і

Користуючись формулою отримаємо

при підрахунку ми врахували наступні рівності

Для напівнескінечної прямої перша крайова задача має вид

Розв’язок має вид

дивіться [5]. Розглянути самостійно.

Приклад.

Найпростіша класична теорія охолодження Землі приводить до рівняння

, ,

- температура плавлення гірських порід,

- температура поверхні.

Розв’язок

Градієнт функції при дорівнює

Підставляючи сюди відомі значення геотермічного градієнту

- коефіцієнт температуропровідності базальтів і гранітів отримаємо для тривалості процесу охолодження значення років.

З відкриттям радіоактивного розпаду схема змінилась, рівняння прийняло вид

, , де

А – щільність теплових джерел. При цьому отримуємо рівним у 2 мільярди років. Дивіться більш докладніше [5].

Лекція №17. Рівняння еліптичного типу

1. Постановка крайових задач.

Розглянемо стаціонарне теплове поле. Розподіл температури буде задовольняти рівнянню (враховуючи, що ) або (рівняння Лапласа)

Задача про стаціонарний розподіл тепла всередині тіла Т формулюється наступним чином:

Знайти функцію що задовольняє всередині Т рівняння і граничній умові, одного з наступних видів:

1. на поверхні (перша крайова задача),

2. на - похідна у напрямку нормалі п до поверхні (друга крайова задача),

3. на (третя крайова задача).

Першу крайову задачу називають задачею Дирихлє, а другу – задачею Неймана.

Крім того, якщо розв’язок шукається в внутрішній (в зовнішній) по відношенню до частини, то відповідно задачу називають внутрішньою (зовнішньою) крайовою задачею.

Розглянемо задачу на площині, тобто для двох змінних. Відмітимо, що функції і (двох змінних), для яких виконується умова Коші-Рімана (що називаються гармонійними) будуть задовольняти однорідному рівнянню.

Гармонійна функція, задовольняє принципу міні-максимуму (див. теорію аналітичних функцій), таким чином для першої крайової задачі буде виконуватись теорема єдиності, як це ми доводили раніше.

2. Перша крайова задача для круга. Інтеграл Пуассона.

Розглянемо задачу.

Знайти функцію , що задовольняє рівнянню всередині (або за межами) круга і граничній умові на границі круга радіуса a.

Переходячи до полярної систему координат з початком у центрі кола отримаємо рівняння, в полярних координатах у вигляді

.

Розв’язок шукається методом розділенням змінних .

Підставляючи до рівняння отримаємо або

.

Звідси . Враховуючи періодичність і , - періодична, а це можливо тільки якщо , тобто .

Функцію розшукують у вигляді . Підставляючи в рівняння і скорочуючи на , знайдемо або . Отже

Розв’язок: для (внутрішня задача) мають вигляд

( , так як при функція необмежена і не буде гармонійною), і для (зовнішня задача) ( , так як при функція необмежена).

Звідси (внутрішня задача)

( зовнішня задача).

Для визначення і користуються граничними умовами .

Остаточно будемо мати (внутрішня задача)

Для зовнішньої задачі .

Отримані формули можна спростити. Для внутрішньої задачі розглянемо більш детально ситуацію.

. Для зовнішньої задачі отримаємо .

Отримані інтеграли називаються інтегралами Пуассона.

Відзначимо, що інтеграл Пуассона дає розв’язок крайової задачі для кусочно неперервної функції (дивіться [5]).