3. Загальні способи зниження порядку рівняння

1) Розглянемо рівняння F(x, )=0 . Тоді заміна z= понижає порядок рівняння на k одиниць. Перевірити самостійно.

2) Розглянемо рівняння F(y,y′,…y )=0.

Заміна z(y)=y′ (y′′=y z (y)=zz , y′′′= , …) знижує порядок рівняння на одиницю.

3) Однорідне рівняння F(x, y, y′,…y )=0, тобто рівняння у якого функція F(x, y, y′,…y ) задовольняє умові: для довільного k F(x,ky,ky′,…,ky )= F(x,y,y′,…y ), де р порядок однорідності. Розглянемо однорідне рівняння F(x, y, y′,…y )=0, тоді заміна y= , де z(x) невідома функція, знижує порядок рівняння на одиницю.

Практичне заняття №5. Рівняння п-го порядка. Способи зниження порядка

Необхідні відомості: 1. Означення рівняння п-го порядка та його розв’язку. Задача Коші.

2. Методи зниження порядка.

Задачі.

Знизити порядок та розв’язати рівняння.

1.

2.

3.

4.

Розв’язати рівняння за допомогою відповідної не стандартної заміни.

5.

6.

Задачі для самостійної роботи.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. ,

11.

12.

13.

Лекція №6. Лінійні рівняння n-го порядку. Системи лінійно незалежних функцій

1. Лінійні та однорідні рівняння n-го порядку.

Означення. Рівняння виду a (x)y + a (x)y +…+a (x)y=f(x) називається лінійним рівнянням n-го порядку.

Якщо f(x)=0, то говорять, що рівняння є лінійне однорідне рівняння n-го порядку

.

Однорідні лінійні рівняння будемо записувати у вигляді (котрий легко отримати з вихідного рівняння після ділення його на )

y +p (x) y +…+p (x)y=0.

Теорема. Нехай функції p (x) визначені та неперервні на [a;b], тоді, для лінійного однорідного рівняння, довільна задача Коші на області [a;b] має єдине рішення.

Доведення. Відповідна функція, що фігурує у теоремі існування та єдиності розв’язку рівняння n-го порядку, має вигляд:

F(x, y, y′,…y )=-p (x)y -…-p (x)y. З умови теореми вона неперервна і = p (x) обмежені, оскільки неперервні на [a; b], що гарантує виконання умови Ліпшица для F. Отже ствердження теореми випливає з теореми існування та єдиності для загальних рівнянь n-го порядка.

Розглянемо властивості рішень лінійних однорідних рівнянь. Для скорочення запису введемо позначення Ly = y +p (x) y +…+p (x)y, де L – лінійний оператор, що випливає з властивостей похідної, тоді однорідне лінійне рівняння має вигляд Ly=0.

Теорема. Нехай y і y – довільні рішення однорідного лінійного рівняння, тоді:

1) для кожного с є R¹, сy – рішення однорідного лінійного рівняння,

2) y + y є рішенням лінійного однорідного рівняння.

Доведення. Доведення випливає з властивостей лінійного оператора, тобто L (сy ) =сLy =0, L (y +y ) = Ly +Ly =0.

Наслідок. Нехай y ,…,y –довільні рішення лінійного однорідного рівняння, тоді їхня лінійна комбінація α …α є рішенням лінійного однорідного рівняння.

2. Системи лінійно незалежних функцій.

Означення. Функції y ,…,y називаються лінійно залежними на множині Х, якщо існує набір чисел α …α , не всі з яких дорівнюють нулю, таких, що α +…+α ≡0 для будь-яких х є Х.

Якщо це визначення не виконується, то функції y ,…,y називаються лінійно незалежними.

Приклад (лінійно незалежних). Функції 1,х,...,х на [a;b] лінійно незалежні. Якщо допустити, що вони залежні, то (не всі рівні 0) такі, що α +α х…+α х 0 для всіх х є [a;b], а це протиріччя основної теореми алгебри. Значить функції 1,х,...,х на [a;b] лінійно незалежні.

Теорема. Нехай дана система лінійно залежних функцій y ,…,y на множині Х. Тоді визначник Вронского:

на множині Х.

Доведення. Оскільки y ,…,y лінійно залежні то існує набір α …α , не всі з яких дорівнюють нулю, для яких виконується тотожність , тоді y ,…,y задовольняють системі

, для будь-якого х є Х.

Система відносно (α …α ) має не тривіальне рішення для будь-якого х є Х. Таким чином, з курсу алгебри маємо, що W(х)=0, х є Х.

Теорема. Нехай y ,…,y –лінійно незалежна система рішень однорідного лінійного рівняння y +p (x)y +…+p (x)y=0 такого, що – визначені і неперервні на [a;b]. Тоді для будь-якого х є [a;b] визначник Вронского відмінний від нуля W(х) 0.

Доведення. Припустимо противне, що в деякій точці x є[a;b] W(х )=0. Візьмемо функцію у= , де α …α –довільні константи, тоді у - рішення даного рівняння.

Розглянемо систему:

Для даної системи W(х )=0, виходить, система має нетривіальне рішення, тобто існує набір α …α , для якого не всі α дорівнюють нулю і такий, що задовольняє системі. Розглянемо у, коли в якості (α …α ) узято указане нетривіальне рішення системи, тоді маємо

.

Таким чином, у= є нетривіальним рішенням рівняння з нульовими початковими умовами у точці . Зазначимо, що функція у 0 задовольняє нульовим початковим умовам і рівнянню. Оскільки коефіцієнти рівняння задовольняють теоремі про існування та єдиності рішення, то у= , що протирічить лінійній незалежності таким чином наше припущення не вірно, тобто W(х) 0 для будь-якого х є [a;b].

Теорема. Нехай дане лінійне однорідне рівняння: y +p (x) y +…+p (x)y=0,де p …p –визначені і неперервні на [a;b] , –лінійно незалежна система рішень даного рівняння, тоді у=с +…+с , де с – довільні константи, є загальним рішенням даного рівняння.

Доведення. Зразу відмітимо, що згідно властивостей рішень лінійного однорідного рівняння у=с +…+с - рішення рівняння. Покажемо, що рішення будь-якої задачі Коші для даного рівняння можна отримати з рішення у=с +…+с , якщо взяти відповідні значення с . Нехай в будь-якій точці є[a;b] задані довільні початкові умови

.

Підставляючи замість у його значення, отримаємо

Визначник даної системи є визначник Вронского і W( ) 0 , в силу попередньої теореми, отже система має нетривіальне рішення, підставляючи яке в у одержимо шукане рішення задачі.

Наслідок. Лінійне однорідне рівняння n-го порядку має n-лінійно незалежних рішень.

Означення. Будь-який набір з n-лінійно незалежних рішень лінійного однорідного рівняння називається фундаментальною системою рішень.