2. Єдиність розв’язку.

Теорема. Якщо функція , визначена і неперервна в замкнутій області і задовольняє рівнянню , то максимальні (мінімальні) значення досягаються або в початковий момент, або в точках границі .

Зауваження: з фізичної точки зору це природно, оскільки немає джерел тепла.

Доведення. Доведемо від супротивного. Нехай , де max обчислюється при , або при , або при , і припустимо що така, що є максимальне значення .

Порівняємо значення і в точці . Так як функція в точці досягає свого максимального значення , то і .

Далі, оскільки досягає максимуму в точці , то .

Розглянемо функцію , де . Очевидно і .

Виберемо так, щоб , тобто , тоді максимальне значення при , або при , або не буде перевищувати .

Однак в силу неперервності вона повинна в деякій точці досягати свого максимального значення, тобто , що .Враховуючи вище сазане маємо, що і . По аналогії з вище сказаним і

Звідси .

Тобто функція не задовольняє рівняння в точці що суперечить умові і доводить теорему. Аналогічно доводиться твердження теореми для мінімального значення.

Теорема (єдиності). Якщо дві функції і , визначені і неперервні на області , , задовольняють рівнянню теплопровідності

і то .

Доведення. Розглянемо функцію , тоді неперервна на області ; задовольняє рівняння теплопровідності, а також і нульовим початковому та граничним умовам. Звідси , згідно з попередньою теоремою, тобто теорему доведено.

Використовуючи вище вказаний метод, модифікуючи його під ситуацію, можна показати єдиність розв’язку задачі для нескінченної прямої, дивіться [5].

3. Метод розділення змінних.

1. Знайти неперервний в замкнутій області розв’язок рівняння , що задовольняє початковій умові , та однорідним граничним умовам .

Для цього розглянемо допоміжну задачу:

2. знайти розв’язок рівняння тотожно не рівне 0, що задовольняє однорідним граничним умовам , та має вид .

Міркуючи як це робилось раніше отримаємо, що Х, Т – задовольняють рівнянням:

Як і раніше задовольняє 1, якщо .

Відповідно .

Повертаючись до першої задачі. Отримаємо, що розв’язок її має вигляд

Враховуючи початкову умову маємо

.

Відмітимо, що як і раніше, розв’язок, коли існують і відповідні ряди збігаються.

Згідно з [5], для цього достатньо щоб була неперервна на та мала частково­неперервну похідну.

Лекція №16. Перша крайова задача для рівняння параболічного виду

1. Неоднорідна задача з нульовими початковими і граничними умовами.

Розв’яжемо задачу:

Будемо шукати розв’язок у вигляді

.

Для цього представимо у вигляді ряду

, де .

Підставляючи у рівняння отримаємо

Отже

або

Із початкових даних для маємо

,

отже

Розв’язуючи звичайне диференційне рівняння з нульовими початковими даними, отримаємо

.

Таким чином, розв’язок має вид

2. Перша крайова задача.

Розв’яжемо задачу:

Введемо невідому функцію за допомогою рівності

де визначається як розв’язок рівняння , яке задовольняє умовам

Виберемо так, щоб , тобто .

Таким чином, задовольняє рівняння

Тоді, розв’язок - сума розв’язка рівняння з нульовою початковою умовою. (див. п.1) та розв’язку однорідного рівняння з початковою умовою заданою за допомогою функції (дивіться лекцію 7).