- •Лекція №1.Означення диференціального рівняння і розв’язку. Задача Коші. Теорема існування та єдиності розв’язку задачі Коші
- •1.Означення диференціального рівняння і розв’язку.
- •2.Геометрична інтерпретація, диференціального рівняння першого порядку.
- •3. Загальні рішення диференціального рівняння. Задача Коші.
- •Лекція №2. Рівняння з розділеними змінними. Однорідні рівняння
- •1. Рівняння з розділеними змінними.
- •2. Рівняння, що приводяться до рівнянь із розділеними змінними.
- •3.Однорідні рівняння
- •4. Рівняння, що приводяться до однорідних рівнянь.
- •Практичне заняття №1. Рівняння з розділеними змінними
- •Практичне заняття №2. Однорідні рівняння
- •Лекція №3. Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі та Рікатті-Буля
- •1. Лінійні рівняння першого порядку.
- •2. Рівняння Бернуллі.
- •3. Рівняння Рікатті – Буля.
- •4.Рівняння в повних диференціалах.
- •Практичне заняття №3.Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі
- •Лекція №4.Особливі точки. Особливі рішення. Рівняння Клеро
- •Особливі точки. Особливі рішення.
- •2. Огибаюча сімейства кривих. Рівняння Клеро.
- •Практичне заняття №4. Рівняння Клеро
- •Лекція №5. Системи диференціальних рівнянь першого порядку. Теорема існування та єдиності розв’язку задачі Коші. Рівняння п-го порядку
- •1. Системи диференціальних рівнянь. Теорема існування та єдиності.
- •2. Рівняння n-го порядку.
- •3. Загальні способи зниження порядку рівняння
- •Практичне заняття №5. Рівняння п-го порядка. Способи зниження порядка
- •Лекція №6. Лінійні рівняння n-го порядку. Системи лінійно незалежних функцій
- •1. Лінійні та однорідні рівняння n-го порядку.
- •2. Системи лінійно незалежних функцій.
- •Лекція №7. Формула Остроградського – Ліувілля. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами
- •1. Формула Остроградського – Ліувілля та її застосування для розв’язку рівняння другого порядка.
- •Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами.
- •Практичне заняття №6. Лінійне однорідне рівняння. Формула Остроградського – Ліувілля. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами
- •Лекція №8. Лінійні неоднорідні рівняння n - го порядку. Застосування рівнянь у теорії коливань. Резонанс
- •1. Загальний вигляд рішення лінійного неоднорідного рівняння.
- •2. Метод невизначених коефіцієнтів.
- •3. Знаходження рішення неоднорідного лінійного рівняння з постійними коефіцієнтами для спеціальної правої частини.
- •4.Застосування рівнянь у теорії коливань. Резонанс.
- •Практичне заняття №7. Неоднорідні лінійні рівняння
- •Лекція №9. Системи п звичайних диференційних рівнянь. Лінійні рівняння з частинними похідними першого порядку
- •1. Системи звичайних диференційних рівнянь
- •2. Лінійні рівняння з частинними похідними.
- •3.Загальний випадок лінійного рівняння.
- •Практичне заняття №8. Система диференційних рівнянь. Диференційні рівняння у частинних похідних першого порядку
- •2. Рівняння у частинних похідних першого порядку. Означення. Розв’язок.
- •Лекція №10. Класифікація рівнянь у частинних похідних другого порядку. Диференційні рівняння з двома змінними
- •1.Визначення рівняння другого порядку з двома змінними у частинних похідних.
- •2.Класифікація рівнянь.
- •Лекція №11. Рівняння гіперболічного типу. Постановка крайової задачі. Теорема єдиності розв’язку
- •1. Постановка крайової задачі.
- •Лекція №12. Редукція, загальної задачі. Задачі на прямій і напівпрямій. Формула Даламбера, метод продовження
- •1.Редукція, загальної задачі.
- •2. Формула Даламбера.
- •3. Крайова задача для напівпрямої, і метод продовжень.
- •Практичне заняття №9. Типи рівнянь другого порядку у частинних похідних. Рівняння коливання струни. Формула Даламбера
- •Лекція №13. Неоднорідні гіперболічні, рівняння на прямій і піввісі. Метод Фур’є розділення змінних
- •1. Неоднорідні гіперболічні рівняння на прямій і піввісі.
- •2. Метод розділення змінних.
- •Лекція №14. Перша крайова задача для гіперболічного рівняння
- •1.Неоднорідне рівняння з нульовими граничними умовами.
- •2.Перша крайова задача.
- •Практичне заняття №10. Метод Фур’є. Гіперболічні рівняння
- •3. Розв’язання першої крайової задачі у загальному випадку.
- •Лекція №15. Рівняння параболічного типу
- •1.Постанова крайових задач.
- •2. Єдиність розв’язку.
- •3. Метод розділення змінних.
- •Лекція №16. Перша крайова задача для рівняння параболічного виду
- •1. Неоднорідна задача з нульовими початковими і граничними умовами.
- •2. Перша крайова задача.
- •3. Задачі на нескінченій та напівнескінечній прямій.
- •Лекція №17. Рівняння еліптичного типу
- •1. Постановка крайових задач.
- •2. Перша крайова задача для круга. Інтеграл Пуассона.
- •3. Частинний розв’язок рівняння Лапласа.
- •Практичне заняття №11. Параболічні та еліптичні рівняння
- •Література:
Лекція №12. Редукція, загальної задачі. Задачі на прямій і напівпрямій. Формула Даламбера, метод продовження
1.Редукція, загальної задачі.
Розв’язок загальної крайової задачі
може бути представлено в вигляді
де - розв’язок наступних часткових крайових задач:
.
Аналогічна редукція буде проводитись і для інших крайових задач.
2. Формула Даламбера.
Розглянемо задачу для прямої (безмежної струни)
.
Рівняння характеристик розпадається на рівняння
,
інтегруючи які отримаємо .
Зробимо заміну
Рівняння коливання струни прийме вигляд .
Тоді для будь якого розв’язку рівняння отримаємо і
, де і довільні функції.
Переходячи до змінних отримаємо
- загальний інтеграл рівняння.
Знайдемо і при яких виконуються початкові умови:
.
Із другого рівняння
- константи.
З рівностей
знайдемо
.
Підставивши в отримаємо
(формула Даламбера).
Формула Даламбера задовольняє (мається на увазі для двічі диференційованої функці і диференційованої функції ) рівнянню та початковим умовам. Таким чином, викладений метод доводить як єдиність (будь який розв’язок виражається однією і тою ж формулою), так і існування розв’язку задачі.
Зауваження. Функція , що визначена за формулою Даламбера, описує процес розповсюдження початкової швидкості. Припустимо що спостерігач знаходиться у момент в точці та рухається зі швидкістю у позитивному напрямку. Впровадимо систему координат, що зв’язана зі спостерігачем, , . В цій рухомій системі має визначатися формулою , і спостерігач буде бачити весь час один і той же профіль, що і в початковий момент. Отже, удає незмінний профіль , що поширюється праворуч зі швидкістю . Функція - удає хвилю, що поширюється ліворуч зі швидкістю . Таким чином, загальний розв’язок задачі Коші для нескінченної струни є суперпозиція двох хвиль , одна з яких поширюється праворуч, а друга ліворуч зі швидкістю .
3. Крайова задача для напівпрямої, і метод продовжень.
Задача. Знайти розв’язок рівняння коливань
що задовольняє граничній умові (або )
та початковим умовам .
Розглянемо спочатку ситуацію однорідної граничної умови (струна з закріпленим кінцем (або вільним кінцем)).
Для рівняння коливань на безмежній прямій справедлива лема (із формули Даламбера)
Лема. Якщо початкові дані в задачі про поширення коливань на необмеженій прямій являються непарними (парними) функціями відносно деякої точки х0, то відповідний розв’язок (похідна по х розв’язку) в цій точці х0 дорівнює 0.
За допомогою леми розв’яжемо задачу:
знайти розв’язок рівняння , що задовольняє початковим умовам
і граничній умові .
Розглянемо функції Φ(х), Ψ(х) – що являються непарним продовженням і :
.
Функція
в силу леми, задовольняє рівностям ,
.
Розглядаючи отриману функцію тільки для отримаємо функцію, що задовольняє усім умовам поставленої задачі.
Повертаючись до функцій і можемо написати
Аналогічно розглядається ситуація з вільним кінцем (в цьому випадку і продовжують парним чином). Розглянути самостійно.
Розглянемо розв’язок рівняння при нульових початкових і довільній граничній умовах:
.
Граничний режим викликає хвилю, що поширюється впродовж струни зі швидкістю , тобто розв’язок має вигляд:
.
Визначимо з умови
,
так, що .
Але ця функція визначена лише в області , так як визначена для . Щоб знайти для всіх аргументів продовжимо на поклавши , . Тоді задана для всіх аргументів і задовольняє нульовим початковим умовам.
Розв’язок задачі:
представляється у вигляді суми розв’язків попередньої задачі та і має вигляд
.