Практичне заняття №6. Лінійне однорідне рівняння. Формула Остроградського – Ліувілля. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами

Необхідні відомості: 1. Означення лінійного однорідного рівняння, та властивості його рішень.

2. Загальне рішення, фундаментальна система рішень.

3. Формула Остроградського – Ліувілля та її застосування у випадку рівняння другого порядку.

4. Знаходження фундаментальної системи розв’язків рівняння з постійними коефіцієнтами. Характеристичне рівняння.

Задачі .

Застосовуючи формулу Остроградського – Ліувілля знайти загальне рішення.

1.

2.

Знайти загальні рішення рівнянь.

3.

4.

_5.

_6.

_7.

Знайти рішення рівнянь, що задовольняють зазначеним початковим умовам.

8. ; ,

9. ; , ,

Задачі для самостійної роботи.

Знайти загальні рішення рівнянь.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Знайти рішення рівнянь, що задовольняють зазначеним початковим умовам.

13. ; ,

14. ; ,

15.

Лекція №8. Лінійні неоднорідні рівняння n - го порядку. Застосування рівнянь у теорії коливань. Резонанс

1. Загальний вигляд рішення лінійного неоднорідного рівняння.

Розглянемо лінійне неоднорідне рівняння y +p (x) y +…+p (x)y=f(x), або Ly=f(x). Враховуючи лінійність рівняння легко довести, що якщо у є рішенням неоднорідного рівняння, а y – однорідного, то функція у +y – рішення неоднорідного рівняння. Дійсно

L (у +y ) =Lу +Ly = f(x) +0.

Теорема. Нехай дане лінійне неоднорідне рівняння n – го порядку й функції f(x), p (x),…,p (x) неперервні на [a;b]. Якщо у …y –фундаментальна система рішень, відповідного лінійного однорідного рівняння, у - будь-яке рішення неоднорідного рівняння, тоді загальне рішення неоднорідного рівняння має вигляд у= у+ с у +…+c у , де довільні константи.

Доведення. Відмітимо, що згідно з попереднім твердженням у= у+ с у +…+c у є рішення рівняння. Покажемо, що рішення будь-якої задачі Коші можна отримати з рішення у= у+ с у +…+c у вибираючи відповідним чином константи. Розглянемо довільні початкові умови в .

Підставляючи замість у його значення отримаємо систему рівнянь відносно

Визначник даної системи – визначник Вронского W(х )≠0 (оскільки виконуються умови теореми 4, лекції 5). Таким чином, система має єдине рішення, підставляючи замість довільних констант рішення системи у функцію у, одержимо шукане рішення задачі Коші, що доводить теорему.

Приклад. y′′+ y′+y=х+1.

Не складно перевірити, що =x рішення рівняння. Знайдемо фундаментальну систему рішень рівняння y′′+ y′+y=0. Відповідне характеристичне рівняння має вид k +k+1=0, отже k = k = . Таким чином фундаментальна система рішень є , отже загальне рішення рівняння має вид y=x+c +c .

2. Метод невизначених коефіцієнтів.

Щоб знайти загальне рішення неоднорідного лінійного рівняння y +p (x)y +…+p (x)y=f(x), згідно з попередньою теоремою, треба знайти яке-небудь рішення даного рівняння. Для знаходження застосуємо метод невизначених коефіцієнтів. Отже, якщо (y ,…,y ) фундаментальна система рішень відповідного однорідного рівняння, то будемо шукати у вигляді = c (х)у +…+c (х)у , де c невідомі функції.

Теорема. Нехай дано рівняння y +p (x)y +…+p (x)y=f(x) і f(x), неперервні на [a;b]. Якщо y ,…,y - фундаментальна система рішень відповідного однорідного рівняння, то функція = c (х)у +…+c (х)у є рішенням вихідного рівняння, якщо є рішенням системи рівнянь:

Доведення. Покажемо, що рішення рівняння, при умові, що рішення системи. З урахуванням виконання рівнянь системи, маємо

= c (х)у +…+c (х)у

′= c у + c у

′= c у + c у

…

= c у + c у

c у + c у .

Підставляючи ці вирази у рівняння отримаємо

( - рішення однорідного рівняння), тобто задовольняє рівнянню, що й треба було довести.

Зауваження. Згідно з теоремою, для знаходження загального рішення лінійного неоднорідного рівняння достатньо знати фундаментальну систему рішень відповідного однорідного рівняння (це легко зробити для рівнянь з постійними коефіцієнтами).