Лекція №2. Рівняння з розділеними змінними. Однорідні рівняння

1. Рівняння з розділеними змінними.

Означення. Рівняння виду y′=f(x)φ(у) називається рівнянням з розділеними змінними, де f(x) залежить тільки від змінної х, а φ(у) – від змінної у.

Теорема. Нехай функція f(x) визначена та неперервна на відрізку , функція φ(у) визначена та неперервна на відрізку і для будь-якого . Тоді для будь-якої точки ( ) задача Коші: , має єдине рішення в області D.

Доведення. Нехай у(х) розв’язок задачі Коші. Підставляючи його у рівняння отримаємо рівність яка еквівалентна , або = f(x) dx. Інтегруючи останню рівність отримаємо рівність . Нехай тепер у(х) розв’язок рівняння тоді підставляючи його у рівняння отримаємо тотожність , диференціруючи яку отримаємо = f(x) dx або .Таким чином, диференціальне й інтегральне рівняння - еквівалентні. Отже Задача Коші для довільної точки із прямокутника [a;b]х[c;d] має єдине рішення .

Приклад. Знайти загальний розв’язок .

Розв’язок. Вихідне рівняння еквівалентно , . Інтегруючи маємо або ln|y|= ln|x|+ln c, c>0. Отже ln|y|= ln c|x|, c>0 і |y|= c|x|, c>0, або y=cx, . Враховуючи, що у=0 теж розв’язок , то y=cx, - загальний розв’язок.

2. Рівняння, що приводяться до рівнянь із розділеними змінними.

Рівняння виду y′=f(ax+by) називають рівнянням, що приводиться до рівняння з розділеними змінними. Дійсно, зробимо заміну u= ax+by, тоді u′=a+by′ і y′= . Підставляючи у рівняння маємо =f(u), або u′= bf (u) +a - рівняння з розділеними змінними.

3.Однорідні рівняння

Означення. Рівняння виду y′=f( ) називається однорідним рівнянням.

Теорема. Нехай функція f(u) неперервна на [a;b] і для кожного u з [a;b] f(u)- u≠0. Тоді задача Коші для рівняння y′=f( ) має єдине рішення на області

Доведення. Розглянемо заміну u= , y=ux тоді y′=u′x+u і підставляючи у рівняння отримаємо рівняння відносно u=u(x) u′x+u=f (u), або u′x=f (u)-u.

Згідно з попередньою теоремою рівняння u′x=f (u)-u має єдине рішення, що і доводить теорему.

Приклад. Розв’язати xy′=y+xtg( ).

Розв’язок. Оскільки y′=( ) +tg( ), то роблячи заміну =u; y=ux; y′=u′x+u, отримаємо u′x+u=u+tgu або = Інтегруючи рівність маємо ln|sin u|= ln|x|+ln c, c>0, sin u=cx, c 0, або sin =cx, c 0. Оскільки, якщо tgu=0, то u=k , або у=k х – є розвязок рівняння, то він попадає у загальне рішення sin =cx, якщо с=0. Отже загальне рішення рівняння sin =cx, .

4. Рівняння, що приводяться до однорідних рівнянь.

Означення. Рівняння виду y′=f називають рівнянням, що приводиться до однорідного рівняння.

Розглянемо систему у якої (у противному випадку чисельник та знаменник пропорційні і після скорочення отримаємо рівняння, що приводиться до рівняння з розділеними змінними). Нехай (хо,уо) розв’язок системи. Розглянемо заміну x=X+ xo, y=Y+yo, тоді і підставляючи у рівняння отримаємо =f , або = f - однорідне рівняння відносно змінних Х і У.

Приклад. Розв’язати y′=

Розглянемо систему , вона має розвязок x=-3, y=1, тоді X=x+3, Y= y-1 і

Y′= - однорідне рівняння.