Практичне заняття №4. Рівняння Клеро

Необхідні відомості: 1. Особливі точки та рішення.

2. Означення огибаючої сімейства кривих та спосіб їх знаходження.

3. Рівняння Клеро та Лагранжа.

Задачі.

Знайти загальні й особливі рішення рівнянь Клеро.

1.

2.

3.

4.

5. Площа трикутника, утвореного дотичній до шуканої лінії й осями координат, є величина постійна. Знайти лінію. 6. Знайти лінію, дотичні до якої відтинають на осях координат відрізки, сума яких дорівнює 2а.

Задачі для самостійної роботи.

Знайти особливі рішення рівнянь, застосовуючи той же прийом, який використовується у випадку рівнянь Клеро.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. Знайти лінію, для якої площа прямокутника, що має сторонами дотичну й нормаль у будь-якій точці, дорівнює площі прямокутника зі сторонами, рівними по довжині абсцисі й ординаті цієї точки.

10. Знайти лінію, для якої добуток відстаней будь-якій дотичній до двох даних точок постійний.

Лекція №5. Системи диференціальних рівнянь першого порядку. Теорема існування та єдиності розв’язку задачі Коші. Рівняння п-го порядку

1. Системи диференціальних рівнянь. Теорема існування та єдиності.

Означення. Система рівнянь

де х незалежна змінна, невідомі функції від х, а - похідні відповідно, називається системою диференціальних рівнянь першого порядку.

Означення. Набір функцій ( ) будемо називати рішенням системи, якщо при підстановці в систему диференціальних рівнянь отримаємо вірні тотожності.

Розглянемо задачу: знайти рішення системи

, що задовольняє умовам ,…, така задача називається задачею Коші для системи рівнянь.

Теорема (існування та єдиності). Нехай функції f (х, ),…,f (х, ) визначені і неперервні на області і по змінним задовольняють умові Ліпшица, тобто |f (х, )-f (х, )|≤N | |, для будь-яких ( ) і ( ). Тоді існує h таке, що для х , задача Коші має єдине рішення, графік якого не виходить з області D; h<max(a, ), (|f |≤M, ).

Доведення теореми аналогічно доведенню теореми існування та єдиності для одного рівняння. Різниця лише у тому, що замість функції розглядаються набори функцій ( ) і відповідно _{- простір неперервних наборів графіки яких не виходять за межі} області D.

Зауважимо, що умова Ліпшица буде виконуватися, якщо всі похідні ( i,j=1,…,n ) обмежені на області D.

2. Рівняння n-го порядку.

Нехай y =f(x, y, y′,…,y ) - рівняння n-го порядку. Розглянемо слідуючи позначення , тоді рівняння n-го порядку еквівалентно системі

.

Крім того, задача Коші для рівняння: , відповідно еквівалентна задачі Коші для системи:

, .

Теорема (існування та єдиності для рівняння n-го порядку). Нехай дана задача Коші для рівняння n-го порядку:

і функція f(x, y, y′,…,y ) визначена і неперервна як функція (n+1) – зміною в деякому околі точки (x , y , …, y ) і задовольняє умові Ліпшица по змінним, починаючи від другої, тобто

| f(x, y , )-f(x,z , )|≤N∑| |, для будь-яких ( ), ( ).

Тоді існує окіл точки x , у середині якого задача Коші має єдине рішення.

Доведення теореми зводиться до доведення теореми існування та єдиності розв’язку відповідної системи. Отже f (x, y , )=y , i=1,…,n-1, f (x, y , )=f(x, y , ). В силу умови теореми та виду f i=1,…,n-1 всі умови теореми про існування та єдиність розв’язку системи виконуються. Таким чином, задача Коші для рівняння n-го порядку має єдине рішення.

Зауваження. Умова Ліпшица буде виконуватися якщо похідні i=0,…,n-1