- •Тема 1. Математическая модель задачи линейного программирования (злп)
- •1. Предмет математического программирования
- •2. Математическая модель мп
- •3. Основные типы задач мп:
- •4. Многокритериальная оптимизация
- •5. Основные понятия теории оптимизации
- •6. Постановка злп. Различные формы записи ее математической модели
- •Тема 2. Графический метод решения злп. Закономерности и общие свойства решения злп
- •1. Геометрическая интерпретация решения злп
- •2. Алгоритм решения злп графическим методом
- •3. Возможные случаи области допустимых решений при решении злп графическим методом:
- •4. Основные свойства решений злп:
- •5. Классификация решений злп
- •6. Решение злп с точки зрения линейной алгебры
- •Тема 3. Симплексный метод решения задач линейного программирования
- •1. Суть симплексного метода
- •2. Критерий оптимальности решения злп
- •3. Алгоритм основного симплекс-метода:
- •4. Алгоритм двойственного симплекс-метода:
- •5. Алгоритм смешанного симплекс-метода:
- •6. Особые случаи симплекс-метода:
- •Тема 4. Модифицированный симплекс-метод решения злп. Устойчивость оптимального решения злп
- •1. Обращенный базис и симплекс-множители
- •2. Модифицированный симплекс-метод
- •3. Устойчивость оптимального решения злп:
- •Тема 5. Двойственность в линейном программировании
- •1. Понятие двойственности и теневой цены
- •2. Правила построения двойственной злп
- •3. Основные теоремы двойственности и их экономическое содержание
- •Тема 6. Элементы теории матричных игр
- •1. Основные понятия
- •2. Теоремы теории игр для парных матричных игр с нулевой суммой
- •3. Способы решения задач ти:
- •Тема 7. Матричные статистические игры
- •1. Понятие статистической игры
- •2. Критерии выбора оптимальной стратегии при решении статистической игры
- •3. Кооперативные игры
- •Тема 8. Транспортная задача (тз)
- •1. Постановка тз
- •2. Математическая модель тз
- •3. Решение тз методом потенциалов
- •4. Проверка плана на оптимальность
- •5. Цикл пересчета
- •6. Метод дифференциальных рент
- •7. Дополнительные ограничения тз
- •Тема 9. Дискретное программирование
- •1. Задача целочисленного линейного программирования
- •2. Метод Гомори
- •3. Метод ветвей и границ
- •Тема 10. Элементы нелинейного программирования
- •1. Постановка задачи нелинейного программирования
- •2. Метод множителей Лагранжа
- •3. Задача выпуклого программирования
- •4. Задача квадратического программирования
- •Тема 11. Метод динамического программирования
- •1. Общая постановка задачи динамического программирования
- •2. Принцип оптимальности. Функциональные уравнения Беллмана
- •3. Задача оптимального распределения инвестиций
- •4. Задача о замене оборудования
- •Тема 12. Программирование на сетях
- •1. Основные понятия теории графов
- •2. Экстремальное дерево графа
- •3. Матричные способы задания графов. Упорядочение элементов орграфа
- •4. Потоки на сетях. Постановка задачи о максимальном потоке
- •5. Разрез на сети. Теорема Форда-Фалкерсона. Алгоритм решения задачи о максимальном потоке
- •Тема 13. Планирование на сетях
- •1. Понятие сетевого графика
- •2. Основные параметры сг
- •3. Связь временных параметров сг
- •4. Алгоритм расчета параметров сг:
3. Устойчивость оптимального решения злп:
a) Изменение свободных членов системы ограничений.
Алгоритм:
1) Найти новые значения базисных переменных в последней итерации исходной задачи по формуле (4.3) и минимальное значение целевой функции по формуле (4.6).
2) Если , то комбинация базисных переменных остается прежней, симплекс-множители не меняются; если , то двойственным симплекс-методом продолжить решение и найти новую комбинацию базисных переменных и их значения, а также симплекс-множители и значение целевой функции.
3) Записать ответ.
Пример 1. Предположим, что изменилось количество имеющегося сырья на кондитерской фабрике . Рассмотрим, как изменится при этом решении задачи.
Найдем новое базисное решение по формуле (4.3):
.
Так как среди полученных нет отрицательных, то текущие базисные переменные x1, x5, x3 с новыми значениями составляют допустимое решение. Соответствующее этому решению оптимальное значение целевой функции равно .
Ответ: x* = (1; 6; 16), = 280, то есть доход фабрики увеличится по сравнению с прежним.
Пример 2. Пусть изменилось количество имеющегося сырья = . Рассмотрим, как изменится при этом решении задачи.
Найдем новое базисное решение и значение целевой функции по формулам (4.3) и (4.6):
= ,
.
Полученное решение не является допустимым, поскольку теперь x1 =-14. Заменим значения в столбце свободных коэффициентов оптимальной симплекс-таблицы исходной задачи на полученные и для возврата в ОДР применим двойственный симплекс-метод:
|
б.п. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x1* |
1 |
-1/4 |
0 |
1/4 |
0 |
-3/2 |
-14 |
x5 |
0 |
5/2 |
0 |
-3/2 |
1 |
6 |
66 |
|
x3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
16 |
|
|
F |
0 |
3 |
0 |
2 |
0 |
5* |
-160 |
3 |
x6 |
-2/3 |
1/6 |
0 |
-1/6 |
0 |
1 |
28/3 |
x5 |
|
|
0 |
|
1 |
0 |
10 |
|
x3 |
|
|
1 |
|
0 |
0 |
20/3 |
|
|
F |
10/3 |
13/6 |
0 |
17/16 |
0 |
0 |
-340/3 |
Ответ: x* = (0; 0; 20/3); = 340/3, то есть доход фабрики уменьшится по сравнению с прежним.
б) Включение дополнительных переменных.
Алгоритм:
1) Найти в последней итерации исходной задачи новый столбец и по формулам (4.2) и (4.4).
2) Если , то план и значение целевой функции не изменяются, следовательно, в базис не включается.
3) Если , то следует продолжить решение основным симплекс-методом, включив в базис симплекс-таблицы; найти новый базис, план x*, значение целевой функции F*.
4) Записать ответ.
Пример 3. Кондитерская фабрика в дополнение к имеющимся видам карамели планирует производить карамель четвертого вида x7, при этом расход сырья каждого вида задан матрицей p7 = , доход от реализации единицы этой продукции c7 = 20. Как изменится доход фабрики по сравнению с первоначальным?
Вычислим столбец коэффициентов ограничений, соответствующий переменной x7 по формулам (4.2) и (4.4):
· = ,
· .
Так как , то план и значение целевой функции не изменяются.
Ответ: x* = (2; 0; 12), = 220.
Пример 4. Кондитерская фабрика в дополнение к имеющимся видам карамели планирует производить карамель четвертого вида x8, при этом расход сырья каждого вида задан матрицей p8 = , доход от реализации единицы этой продукции c8 = 15. Как изменится доход фабрики по сравнению с первоначальным?
Вычислим столбец коэффициентов ограничений, соответствующий переменной x7 по формулам (4.2) и (4.4):
= ,
· .
Поскольку , то следует продолжить решение задачи основным симплекс-методом, включив в оптимальную симплекс-таблицу исходной задачи:
|
б.п. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x1 |
1 |
-1/4 |
0 |
1/4 |
0 |
-3/2 |
-1/2 |
2 |
x5* |
0 |
5/2 |
0 |
-3/2 |
1 |
6 |
3 |
12 |
|
x3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
12 |
|
|
F |
0 |
3 |
0 |
2 |
0 |
5 |
-2* |
-220 |
3 |
x1 |
1 |
|
0 |
|
|
|
0 |
4 |
x8 |
0 |
5/6 |
0 |
-1/2 |
1/3 |
2 |
1 |
4 |
|
x3 |
0 |
|
1 |
|
|
|
0 |
8 |
|
|
F |
0 |
14/3 |
0 |
1 |
2/3 |
9 |
0 |
-228 |
Ответ: x* = (4;0;8;4); = 228, то есть доход фабрики увеличится по сравнению с прежним.
в) Изменение значений коэффициентов целевой функции.
Алгоритм:
1) Записать новые коэффициенты с учетом ориентации целевой функции на минимум.
2) Найти новые коэффициенты в последней итерации симплекс-таблицы по формуле (4.5).
3) Если при неискусственных переменных, то комбинация базисных переменных и их оптимальные значения не изменяются. Найти значение целевой функции по формуле (4.6).
4) Если при неискусственных переменных, то следует выписать симплекс-множители и найти по формуле (4.6), затем продолжить решение основным симплекс-методом.
5) Записать ответ.
Пример 5. Кондитерская фабрика проводит новую ценовую политику относительно реализации карамели. В соответствии с этим целевая функция задачи принимает вид . Как изменится решение задачи?
Запишем новые коэффициенты с учетом ориентации целевой функции на минимум , , , = = .
Найдем новые коэффициенты в последней итерации симплекс-таблицы по формуле (4.5):
,
.
Следовательно, симплекс-множители в данном случае имеют вид .
Найдем значение целевой функции по формуле (4.6):
.
Так как , то план оптимален.
Ответ: x* = (2;0;12), = 392, то есть доход фабрики увеличится по сравнению с прежним.
Пример 6. Кондитерская фабрика проводит новую ценовую политику относительно реализации карамели. В соответствии с этим целевая функция задачи принимает вид . Как изменится решение задачи?
Запишем новые коэффициенты с учетом ориентации целевой функции на минимум , , , = = .
Найдем новые коэффициенты в последней итерации симплекс-таблицы по формуле (4.5):
, .
Следовательно, симплекс-множители в данном случае имеют вид .
Значение целевой функции .
Так как , то следует продолжить решение задачи основным симплекс-методом, изменив коэффициенты строки целевой функции оптимальной симплекс-таблицы решения исходной задачи:
|
б.п. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x1 |
1 |
-1/4 |
0 |
1/4 |
0 |
-3/2 |
2 |
x5* |
0 |
5/2 |
0 |
-3/2 |
1 |
6 |
12 |
|
x3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
12 |
|
|
F |
0 |
-5* |
0 |
3 |
0 |
0 |
-240 |
3 |
x1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
16/5 |
x2 |
0 |
1 |
0 |
-3/5 |
2/5 |
12/5 |
24/5 |
|
x3 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
36/5 |
|
|
F |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
12 |
-264 |
Ответ: x* = (16/5;24/5;36/5), = 264, то есть доход фабрики увеличится по сравнению с прежним.
г) Включение дополнительных ограничений.
Алгоритм:
1) Подставить оптимальный план исходной задачи в новое ограничение.
2) Если соотношение ограничения выполняется, то план и значение целевой функции не меняются, ответ идентичен ответу исходной задачи.
3) Если соотношение ограничения не выполняется, то записать новое ограничение в канонической форме с предпочтительными переменными.
4) Преобразовать уравнение ограничения, исключив базисные переменные оптимальной таблицы исходной задачи, воспользовавшись соответствующими уравнениями этой таблицы.
5) Включить полученное уравнение в оптимальную таблицу исходной задачи с учетом новой базисной переменной .
6) Продолжить решение двойственным симплекс-методом и записать ответ.
Пример 7. Предположим, что кондитерская фабрика изменила состав выпускаемой карамели, и теперь для производства карамели необходим четвертый вид сырья. Этот тип сырья требуется при производстве третьего вида карамели, количество данного вида сырья на фабрике составляет 8 усл. ед. В результате получаем новое ограничение . Как изменится прибыль фабрики по сравнению с первоначальной?
Данное ограничение не является избыточным, поскольку оно не удовлетворяется при текущем оптимальном решении. Необходимо ввести новое ограничение в оптимальную симплекс-таблицу исходной задачи и продолжить решение двойственным симплекс-методом. Запишем новое ограничение в канонической форме с предпочтительными переменными . Преобразуем уравнение ограничения, исключив базисную переменную x3 оптимальной таблицы исходной задачи, воспользовавшись третьим уравнением этой таблицы:
Вычитая из первого уравнения второе, получим: .
Включим полученное уравнение в оптимальную таблицу исходной задачи с учетом новой базисной переменной и продолжим решение двойственным симплекс-методом:
|
б.п. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x1 |
1 |
-1/4 |
0 |
1/4 |
0 |
-3/2 |
0 |
2 |
x5 |
0 |
5/2 |
0 |
-3/2 |
1 |
6 |
0 |
12 |
|
x3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
12 |
|
x7* |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
-4 |
|
|
F |
0 |
3* |
0 |
2 |
0 |
5 |
0 |
-220 |
3 |
x1 |
1 |
0 |
0 |
1/4 |
0 |
|
|
3 |
x5 |
0 |
0 |
0 |
-3/2 |
1 |
|
|
2 |
|
x3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
8 |
|
x2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
4 |
|
|
F |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
2 |
3 |
-208 |
Ответ: x* = (3;4;8), = 208, то есть прибыль фабрики уменьшилась.
Пример 8. Предположим, что кондитерская фабрика изменила состав выпускаемой карамели, и теперь для производства карамели необходим четвертый вид сырья. Этот тип сырья требуется при производстве второго вида карамели, количество данного вида сырья на фабрике составляет 2 усл. ед., причем оно должно быть использовано полностью. В результате получаем новое ограничение . Как изменится прибыль фабрики по сравнению с первоначальной?
Представим данное ограничение в виде системы двух неравенств:
Запишем новые ограничения в канонической форме с предпочтительными переменными
Включим полученные уравнения в оптимальную таблицу исходной задачи с учетом новых базисных переменных x7 и x8 и продолжим решение двойственным симплекс-методом:
|
б.п. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x1 |
1 |
-1/4 |
0 |
1/4 |
0 |
-3/2 |
0 |
0 |
2 |
x5 |
0 |
5/2 |
0 |
-3/2 |
1 |
6 |
0 |
0 |
12 |
|
x3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
12 |
|
x7 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
2 |
|
x8* |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
-2 |
|
|
F |
0 |
3* |
0 |
2 |
0 |
5 |
0 |
0 |
-220 |
3 |
x1 |
1 |
0 |
0 |
1/4 |
0 |
-3/2 |
0 |
|
5/2 |
x5 |
0 |
0 |
0 |
-3/2 |
1 |
6 |
0 |
|
7 |
|
x3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
10 |
|
x7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
|
x2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
2 |
|
|
F |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
5 |
0 |
3 |
-214 |
Ответ: x* = (5/2;2;10), = 214, то есть прибыль фабрики уменьшилась.
Педагогический комментарий. Данное лекционное занятие закладывает основы для формирования следующих профессиональных умений студентов-экономистов: умение выявлять проблемы экономического характера при анализе конкретных ситуаций, предлагать способы их решения и оценивать ожидаемые результаты; умение разрабатывать и обосновывать варианты эффективных производственно-технологических решений; умение ставить цель и формулировать задачи, связанные с профессиональной деятельностью, умение использовать для их решения методы изученных дисциплин; умение логически мыслить; умение совершенствовать составление оперативно-производственного плана с использованием инструментария математического программирования; умение эффективно управлять экономическими процессами и регулировать использование комплекса имеющихся ресурсов; умение анализировать оптимальное решение ЗЛП на устойчивость и вариативность.