3. Задача оптимального распределения инвестиций

Инвестор выделяет средства в размере с усл. ед., которые должны быть распределены между m предприятиями. Каждое i-тое предприятие при инвестировании в него средств приносит прибыль усл. ед. Нужно выбрать оптимальное распределение инвестиций между предприятиями, обеспечивающее максимальную прибыль.

В данном случае речь идет об однократном распределении средств, и поэтому задача сама по себе не является динамической. Однако ее можно наиболее просто решить как многошаговую, если объекты капиталовложений включать в рассмотрение последовательно, то есть на каждом шаге к рассмотренным добавлять следующий.

Пусть имеются четыре предприятия, между которыми следует распределить 400 усл. ед. Получаемая предприятиями прибыль в зависимости от выделенной суммы представлена в таблице (объем инвестиций разбивается на N интервалов с шагом ):

Капитальные вложения	Предприятия
	1	2	3	4
80	30	28	35	27
160	57	62	67	73
240	120	122	130	125
320	150	146	144	152
400	180	175	180	178

Целевая функция при ограничениях .

Пусть – объем средств, выделяемых предприятиям, причем ; – максимальная прибыль фирмы, если средств выделить только первому предприятию; – максимальная прибыль фирмы, если средств разделить между первым и вторым предприятиями; – максимальная прибыль фирмы, если средств разделить между первым, вторым и третьим предприятиями; – максимальная прибыль фирмы, если средств разделить между всеми четырьмя предприятиями. При этом .

Обратный ход. Рассмотрим финансирование только первого предприятия, тогда по определению

.

Распределим средства в объеме между первым и вторым предприятиями: второму в объеме , тогда выделяется первому, следовательно,

.

Включим в рассмотрение третье предприятие: из общей суммы выделим третьему предприятию усл. ед., тогда остальная часть оптимальным образом распределится между двумя первыми предприятиями:

. Аналогично, .

Прямой ход. Полученные функциональные уравнения Беллмана позволяют рассчитать значения и для всех возможных . Среди них находим и оптимальное такое, что , после чего результаты вычислений просматриваются в обратном порядке. Зная , находим – объем финансирования остальных трех предприятий, а, следовательно, и и и т.д. до нахождения и .

Произведем расчет.

Обратный ход. Составим расчетную таблицу значений и , которая заполняется по столбцам:

x	Z1 = F1	F2	Z2	F3	Z3	F4	Z4
0	0	0	0	0	0	0	0
80	30	28	30	35	35	27	35
160	57	62	62	67	67	73	72
240	120	122	122	130	130	125	130
320	150	146	152	144	160	152	160
400	180	175	182	180	192	170	203

Элементы в столбцах для находим по уравнениям Беллмана. Например,

.

Прямой ход.

Из таблицы следует, что (усл. ед.) и

, следовательно, четвертому предприятию следует выделить 160 усл. ед., то есть . Тогда

, следовательно, , , .

Ответ: x^* = (0; 0; 240; 160), = 203.

Таким образом, для получения максимальной прибыли в размере 203 усл. ед. следует 240 усл. ед. вложить в третье предприятие и 160 усл. ед. в четвертое, в первое и второе предприятия вкладывать не стоит.

Замечание 11.1. По расчетной таблице можно получить стратегию вложения средств, например, только в первые два предприятия, или вложение суммы в 240 усл. ед. во все четыре предприятия и т.д. Это так называемый «принцип погружения» метода динамического программирования.