Тема 3. Симплексный метод решения задач линейного программирования

План лекции:

1. Суть симплексного метода

2. Критерий оптимальности решения ЗЛП

3. Алгоритм основного симплекс-метода

4. Алгоритм двойственного симплекс-метода

5. Алгоритм смешанного симплекс-метода

6. Особые случаи симплекс-метода

1. Суть симплексного метода

Суть симплекс-метода заключается в том, что решение ЗЛП осуществляется итерационно и основывается на переходе от одного допустимого базисного решения к другому, при котором значение целевой функции улучшается. Этот процесс длится до тех пор, пока дальнейшее улучшение целевой функции станет невозможно.

В алгебраических терминах симплекс-метод предполагает:

1) умение находить начальный опорный план;

2) наличие признака оптимальности опорного плана;

3) умение переходить к нехудшему опорному плану.

Геометрический смысл симплекс-метода состоит в последовательном переходе от одной вершины многогранника ОДР к соседней, в которой целевая функция принимает лучшее значение, до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение.

Симплексный метод универсален, поскольку позволяет решить любую ЗЛП.

2. Критерий оптимальности решения злп

Для использования симплекс-метода ЗЛП должна быть приведена к каноническому виду с предпочтительными переменными.

Критерий оптимальности. Решение ЗЛП является оптимальным, если неотрицательны коэффициенты целевой функции при переменных, имеющих определенный смысл (экономический, технологический, физический), и все свободные члены в правой части уравнений системы ограничений ( ).

В ходе решения ЗЛП могут возникнуть 4 случая:

1) , следовательно, план не оптимален и используется основной симплекс-метод;

2) , следовательно, план не оптимален и применяется двойственный симплекс-метод;

3) , следовательно, план не оптимален и применяется смешанный симплекс-метод;

4) , следовательно, согласно критерию оптимальности, план оптимален.

3. Алгоритм основного симплекс-метода:

1) Записать математическую модель в допустимом предпочтительном виде канонической формы.

2) Составить нулевую итерацию, записав математическую модель ЗЛП в первую симплекс-таблицу и взяв в качестве базисных переменных предпочтительные.

3) При наличии отрицательных коэффициентов целевой функции с_j осуществить подготовку к переходу к новому решению по следующей схеме:

а) среди отрицательных коэффициентов целевой функции выбрать максимальный по модулю, соответствующий столбец в симплекс-таблице называется разрешающим и помечается знаком *.

б) среди всех отношений правых частей системы ограничений к положительным элементам разрешающего столбца выбрать минимальное, соответствующая строка называется разрешающей и помечается знаком *.

в) элемент, стоящий на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки, называется разрешающим и помещается в рамку .

4) Заполнить следующую симплекс-таблицу:

а) базисную переменную (б.п.) в разрешающей строке заменить на переменную разрешающего столбца, все остальные переменные оставить в неизменном порядке;

б) заполнить столбцы базисных переменных: на пересечении столбца и строки базисной переменной поставить 1, остальные элементы столбца приравнять нулю;

в) если в разрешающем столбце прежней таблицы есть 0, то соответствующую ему строку переписать без изменений;

г) если в разрешающей строке прежней таблицы есть 0, то соответствующий ему столбец переписать без изменений;

д) построить опорную строку (·) в новой таблице, разделив все элементы разрешающей строки прежней таблицы на разрешающий элемент;

е) все остальные элементы новой таблицы определяются по правилу треугольника: новый элемент равен прежнему минус произведение соответствующего по строке элемента в разрешающем столбце прежней таблицы на элемент опорной строки в столбце искомого элемента новой таблицы; исключением является элемент, стоящий на пересечении строки целевой функции и столбца свободных членов ограничений, для которого в правиле треугольника "–" следует заменить на "+".

5) Целевая функция в новой таблице проверяется на оптимальность: если при реальных переменных, то получен оптимальный план решения ЗЛП, а если среди с_j есть отрицательный коэффициент, то перейти к пункту 2 алгоритма.

Задача. Для изготовления двух видов , продукции используют три вида ресурсов , , . Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в технологической таблице:

Вид ресурса	Число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции		Объем ресурса
	1	2	12
	0	1	8
	2	1	20
Прибыль от реализации единицы продукции, ден. ед.	2	4

Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

Решение задачи:

Введем обозначения: х₁ – количество продукции первого вида, х₂ – количество продукции второго вида. Тогда экономико-математическая модель задачи примет вид:

.

Преобразуем математическую модель ЗЛП к допустимому предпочтительному виду канонической формы:

.

По алгоритму основного симплекс-метода заполним симплексную таблицу задачи:

	б.п.
0		1	1	1	0	0	12
	*	0	1	0	1	0	8
		2	1	0	0	1	20
	F	–2	–4*	0	0	0	0
1	*	1	0	1	–1	0	4
		0	1	0	1	0	8
		2	0	0	–1	1	12
	F	–2*	0	0	4	0	–32
2		1	0	1	–1	0	4
		0	1	0	1	0	8
		0	0	–2	1	1	4
	F	0	0	2	2	0	–40

Итак, получили, что . Следовательно, согласно критерию оптимальности, план оптимален.

Ответ:

Таким образом, для получения максимальной прибыли в размере 40 ден. ед. надо продать 4 изделия первого вида и 8 изделий второго вида.