2. Метод Гомори

Алгоритм метода:

1) Отбрасывается условие целочисленности и полученная ЗЛП решается симплекс-методом.

2) Если оптимальное решение ЗЛП удовлетворяет ограничению целочисленности, то оно и является решением исходной задачи.

3) Если оптимальное решение ЗЛП не удовлетворяет ограничению целочисленности, то к основным ограничениям добавляется новое линейное ограничение, обладающее следующими свойствами:

а) оптимальный нецелочисленный план задачи ему не удовлетворяет;

б) любой целочисленный план задачи ему удовлетворяет.

4) Решается расширенная задача.

5) Процесс повторяется до получения целочисленного решения.

Определение 9.2. Дополнительное ограничение , где фигурные скобки означают дробную часть соответствующего числа, называется сечением Гомори, а метод Гомори – методом сечения.

Задача. Контейнер объемом помещен на контейнеровоз грузоподъемностью 12т. Контейнер требуется заполнить грузом двух наименований. Масса единицы груза, объем единицы груза, стоимости приведены в таблице:

Вид груза	т		ден.ед.
1	3	1	10
2	1	2	12

Требуется загрузить контейнеровоз таким образом, чтобы стоимость перевозимого груза была максимальной.

Решим задачу методом Гомори.

Введем обозначения: х₁ – количество груза первого вида, х₂ – количество груза второго вида. Тогда экономико-математическая модель задачи примет вид:

.

Преобразуем математическую модель ЗЛП без учета целочисленности переменных к допустимому предпочтительному виду канонической формы:

.

По алгоритму основного симплекс-метода заполним симплексную таблицу решения ЗЛП:

0		3	1	1	0	12
	*	1	2	0	1	5
		-10	-12*	0	0	0
1	*	5/2	0	1	-1/2	19/2
		1/2	1	0	1/2	5/2
		-4*	0	0	6	-30
2		1	0	2/5	-1/5	19/5
		0	1	-1/5	3/5	3/5
		0	0	8/5	26/5	-226/5

Оптимальное решение ЗЛП не удовлетворяет ограничению целочисленности, следовательно, к основным ограничениям необходимо добавить новое линейное ограничение.

Замечание 9.1. Если имеется несколько дробных , то для той у которой дробная часть больше всего составляется ограничение.

Составим сечение Гомори для первого ограничения оптимальной симплекс-таблицы решения ЗЛП (так как ):

,

иначе

.

Преобразуем полученное ограничение к канонической форме с предпочтительной переменной:

.

Продолжим решение задачи двойственным симплекс-методом, включив новое ограничение в оптимальную симплекс-таблицу решения ЗЛП:

2		1	0	2/5	-1/5	0	19/5
		0	1	-1/5	3/5	0	3/5
		0	0	-2/5	-4/5	1	-4/5
		0	0	8/5*	26/5	0	-226/5
3		1	0	0			3
		0	1	0			1
		0	0	1	2	-5/2	2
		0	0	0	2	4	-42

Оптимальное решение расширенной ЗЛП удовлетворяет ограничению целочисленности.

Ответ: , .

Таким образом, контейнер надо загрузить 3 ед. груза первого вида и 1 ед. второго вида, при этом стоимость перевозимого груза максимальна и равна 42 ден. ед.

Замечание 9.2. Если в процессе решения получена оптимальная таблица, в которой вспомогательная переменная имеет положительное значение, то соответствующая строка может быть вычеркнута.