- •Тема 1. Математическая модель задачи линейного программирования (злп)
- •1. Предмет математического программирования
- •2. Математическая модель мп
- •3. Основные типы задач мп:
- •4. Многокритериальная оптимизация
- •5. Основные понятия теории оптимизации
- •6. Постановка злп. Различные формы записи ее математической модели
- •Тема 2. Графический метод решения злп. Закономерности и общие свойства решения злп
- •1. Геометрическая интерпретация решения злп
- •2. Алгоритм решения злп графическим методом
- •3. Возможные случаи области допустимых решений при решении злп графическим методом:
- •4. Основные свойства решений злп:
- •5. Классификация решений злп
- •6. Решение злп с точки зрения линейной алгебры
- •Тема 3. Симплексный метод решения задач линейного программирования
- •1. Суть симплексного метода
- •2. Критерий оптимальности решения злп
- •3. Алгоритм основного симплекс-метода:
- •4. Алгоритм двойственного симплекс-метода:
- •5. Алгоритм смешанного симплекс-метода:
- •6. Особые случаи симплекс-метода:
- •Тема 4. Модифицированный симплекс-метод решения злп. Устойчивость оптимального решения злп
- •1. Обращенный базис и симплекс-множители
- •2. Модифицированный симплекс-метод
- •3. Устойчивость оптимального решения злп:
- •Тема 5. Двойственность в линейном программировании
- •1. Понятие двойственности и теневой цены
- •2. Правила построения двойственной злп
- •3. Основные теоремы двойственности и их экономическое содержание
- •Тема 6. Элементы теории матричных игр
- •1. Основные понятия
- •2. Теоремы теории игр для парных матричных игр с нулевой суммой
- •3. Способы решения задач ти:
- •Тема 7. Матричные статистические игры
- •1. Понятие статистической игры
- •2. Критерии выбора оптимальной стратегии при решении статистической игры
- •3. Кооперативные игры
- •Тема 8. Транспортная задача (тз)
- •1. Постановка тз
- •2. Математическая модель тз
- •3. Решение тз методом потенциалов
- •4. Проверка плана на оптимальность
- •5. Цикл пересчета
- •6. Метод дифференциальных рент
- •7. Дополнительные ограничения тз
- •Тема 9. Дискретное программирование
- •1. Задача целочисленного линейного программирования
- •2. Метод Гомори
- •3. Метод ветвей и границ
- •Тема 10. Элементы нелинейного программирования
- •1. Постановка задачи нелинейного программирования
- •2. Метод множителей Лагранжа
- •3. Задача выпуклого программирования
- •4. Задача квадратического программирования
- •Тема 11. Метод динамического программирования
- •1. Общая постановка задачи динамического программирования
- •2. Принцип оптимальности. Функциональные уравнения Беллмана
- •3. Задача оптимального распределения инвестиций
- •4. Задача о замене оборудования
- •Тема 12. Программирование на сетях
- •1. Основные понятия теории графов
- •2. Экстремальное дерево графа
- •3. Матричные способы задания графов. Упорядочение элементов орграфа
- •4. Потоки на сетях. Постановка задачи о максимальном потоке
- •5. Разрез на сети. Теорема Форда-Фалкерсона. Алгоритм решения задачи о максимальном потоке
- •Тема 13. Планирование на сетях
- •1. Понятие сетевого графика
- •2. Основные параметры сг
- •3. Связь временных параметров сг
- •4. Алгоритм расчета параметров сг:
5. Разрез на сети. Теорема Форда-Фалкерсона. Алгоритм решения задачи о максимальном потоке
Пусть дана сеть (рис.12.15):
Рис. 12.15
Разобьем множество вершин этой сети на два непересекающихся подмножества А и В так, чтобы исток I попал в подмножество А, а сток S – в подмножество В.
Определение 12.11. Совокупность дуг, начальные вершины которых принадлежат подмножеству А, а конечные – подмножеству В, называют разрезом сети и обозначают А/В.
Определение 12.12. Величина , представляющая собой сумму пропускных способностей rij всех дуг разреза, называется пропускной способностью разреза.
Определение 12.13. Величина , представляющая собой сумму потоков xij по всем дугам разреза, называется потоком через разрез.
Теорема 12.1. (Теорема Форда-Фалкерсона) На любой сети максимальная величина потока из истока I в сток S равна минимальной пропускной способности разреза, отделяющего I от S.
Алгоритм построения максимального потока:
1) Построить некоторый начальный поток X0={x0ij}. При этом, чем больше величина построенного потока, тем быстрее решается задача.
2) На основе заданной сети строится новая сеть:
а) любая дуга, для которой x(0)ij=0, остается в новой сети с первоначальной пропускной способностью rij;
б) любая дуга, для которой x(0)ij ≠ 0, заменяется на две: одна дуга того же направления с пропускной способностью rij–x(0)ij; вторая дуга противоположного направления с пропускной способностью x(0)ij.
3) Если в новой сети можно найти ненулевой поток из I в S, то этот поток прибавляется к предыдущему. В результате получается новый поток X(1) и переходят к пункту 2.
Если же в новой сети отсутствуют ненулевые потоки из I в S, то максимальный поток построен.
Пример. Сформировать на сети поток максимальной мощности (рис. 12.16):
Рис. 12.16
В соответствии с алгоритмом построения максимального потока сформируем на сети поток (рис. 12.17):
Рис. 12.17
Исследуем построенный поток на оптимальность (рис. 12.18):
Рис.12.18
Как видно из рисунка, невозможно сформировать на сети еще какой-нибудь поток. Следовательно, получено оптимальное решение задачи. На рисунке 12.17 представлен разрез минимальной пропускной способности, его образуют ребра 1-4; 1-3; 1-2.
Максимальная мощность потока .
Ответ: .
Педагогический комментарий. Данное лекционное занятие закладывает основы для формирования следующих профессиональных умений студентов-экономистов: умение выявлять проблемы экономического характера при анализе конкретных ситуаций, предлагать способы их решения и оценивать ожидаемые результаты; умение разрабатывать и обосновывать варианты эффективных производственно-технологических решений; умение ставить цель и формулировать задачи, связанные с профессиональной деятельностью, умение использовать для их решения методы изученных дисциплин; умение логически мыслить; умение совершенствовать составление оперативно-производственного плана с использованием инструментария математического программирования; умение эффективно управлять экономическими процессами и регулировать использование комплекса имеющихся ресурсов; умение выполнять оптимизационные расчеты на графовых моделях задач экономической и организационно-управленческой практики.