- •Тема 1. Математическая модель задачи линейного программирования (злп)
- •1. Предмет математического программирования
- •2. Математическая модель мп
- •3. Основные типы задач мп:
- •4. Многокритериальная оптимизация
- •5. Основные понятия теории оптимизации
- •6. Постановка злп. Различные формы записи ее математической модели
- •Тема 2. Графический метод решения злп. Закономерности и общие свойства решения злп
- •1. Геометрическая интерпретация решения злп
- •2. Алгоритм решения злп графическим методом
- •3. Возможные случаи области допустимых решений при решении злп графическим методом:
- •4. Основные свойства решений злп:
- •5. Классификация решений злп
- •6. Решение злп с точки зрения линейной алгебры
- •Тема 3. Симплексный метод решения задач линейного программирования
- •1. Суть симплексного метода
- •2. Критерий оптимальности решения злп
- •3. Алгоритм основного симплекс-метода:
- •4. Алгоритм двойственного симплекс-метода:
- •5. Алгоритм смешанного симплекс-метода:
- •6. Особые случаи симплекс-метода:
- •Тема 4. Модифицированный симплекс-метод решения злп. Устойчивость оптимального решения злп
- •1. Обращенный базис и симплекс-множители
- •2. Модифицированный симплекс-метод
- •3. Устойчивость оптимального решения злп:
- •Тема 5. Двойственность в линейном программировании
- •1. Понятие двойственности и теневой цены
- •2. Правила построения двойственной злп
- •3. Основные теоремы двойственности и их экономическое содержание
- •Тема 6. Элементы теории матричных игр
- •1. Основные понятия
- •2. Теоремы теории игр для парных матричных игр с нулевой суммой
- •3. Способы решения задач ти:
- •Тема 7. Матричные статистические игры
- •1. Понятие статистической игры
- •2. Критерии выбора оптимальной стратегии при решении статистической игры
- •3. Кооперативные игры
- •Тема 8. Транспортная задача (тз)
- •1. Постановка тз
- •2. Математическая модель тз
- •3. Решение тз методом потенциалов
- •4. Проверка плана на оптимальность
- •5. Цикл пересчета
- •6. Метод дифференциальных рент
- •7. Дополнительные ограничения тз
- •Тема 9. Дискретное программирование
- •1. Задача целочисленного линейного программирования
- •2. Метод Гомори
- •3. Метод ветвей и границ
- •Тема 10. Элементы нелинейного программирования
- •1. Постановка задачи нелинейного программирования
- •2. Метод множителей Лагранжа
- •3. Задача выпуклого программирования
- •4. Задача квадратического программирования
- •Тема 11. Метод динамического программирования
- •1. Общая постановка задачи динамического программирования
- •2. Принцип оптимальности. Функциональные уравнения Беллмана
- •3. Задача оптимального распределения инвестиций
- •4. Задача о замене оборудования
- •Тема 12. Программирование на сетях
- •1. Основные понятия теории графов
- •2. Экстремальное дерево графа
- •3. Матричные способы задания графов. Упорядочение элементов орграфа
- •4. Потоки на сетях. Постановка задачи о максимальном потоке
- •5. Разрез на сети. Теорема Форда-Фалкерсона. Алгоритм решения задачи о максимальном потоке
- •Тема 13. Планирование на сетях
- •1. Понятие сетевого графика
- •2. Основные параметры сг
- •3. Связь временных параметров сг
- •4. Алгоритм расчета параметров сг:
6. Постановка злп. Различные формы записи ее математической модели
В общем виде ЗЛП формулируется следующим образом: максимизировать (минимизировать) функцию
,
при ограничениях:
где .
Рассмотрим матричную форму записи ЗЛП.
Введем следующие обозначения:
, , , .
Следовательно, и .
Различают следующие формы записи математической модели ЗЛП:
Составные части модели |
Формы записи математической модели ЗЛП |
|||
Общая |
Стандартная |
Каноническая |
||
Ограничения |
|
|
|
|
Управляемые переменные |
Произвольного знака |
|
|
|
Целевая функция |
|
|
|
|
Определение 1.10. Каноническая форма называется предпочтительной или с предпочтительными переменными, если в каждое уравнение ограничений входит некоторое с коэффициентом +1, которого нет ни в одном другом уравнении ограничений и в целевой функции.
Определение 1.11. Если дополнительно в предпочтительной канонической форме свободные члены ограничений неотрицательны ( ), то канонический вид называется допустимым, в противном случае – недопустимым.
Три формы записи ЗЛП (общая, стандартная, каноническая) эквивалентны в том смысле, что каждая из них с помощью несложных преобразований может быть сведена к другой форме.
При необходимости задачу минимизации можно заменить задачей максимизации, и наоборот, так как
(минимальное значение функции равно максимальному значению функции , взятому с противоположным знаком, рис. 1.1).
Рис 1.1
Неравенства типа путем умножения левых и правых частей на –1, можно преобразовать в неравенство типа , и наоборот.
Ограничения-неравенства преобразуются в ограничения-равенства путем прибавления (вычитания) к левым частям дополнительных (балансовых) неотрицательных переменных :
.
В случае необходимости ограничение-равенство , можно записать в виде системы-неравенств:
Если в ЗЛП какая-то переменная не подчинена условию неотрицательности, ее заменяют разностью двух других неотрицательных переменных и :
.
Вводимые дополнительные переменные имеют определенный экономический смысл, прямо связанный с содержанием задачи.
Педагогический комментарий. Данное лекционное занятие закладывает основы для формирования следующих профессиональных умений студентов-экономистов: умение выявлять проблемы экономического характера при анализе конкретных ситуаций, предлагать способы их решения и оценивать ожидаемые результаты; умение ставить цель и формулировать задачи, связанные с профессиональной деятельностью, умение использовать для их решения методы изученных дисциплин; умение логически мыслить; умение реализовать комплекс связей экономических переменных и ограничений по ресурсам в форме математических моделей.