2. Математическая модель тз
Система ограничений задачи состоит из двух групп уравнений. Первая группа из m уравнений описывает тот факт, что запасы всех m поставщиков вывозятся полностью:
.
Вторая группа из n уравнений выражает требование полностью удовлетворить запасы всех n потребителей:
,
причем
и целевая функция имеет вид
.
ТЗ делятся на 2 группы:
1)
Модель ТЗ называется закрытой,
если суммарный объем груза, имеющегося
у поставщика, равен суммарному спросу
потребителей, то есть выполняется
равенство
.
Закрытая ТЗ обязательно имеет оптимальное
решение.
2)
Если для ТЗ выполняется следующее
условие
,
то модель задачи называется открытой.
Для
разрешимости ТЗ с открытой моделью
необходимо преобразовать ее в закрытую,
введением фиктивных поставщиков или
потребителей. Предложение фиктивного
поставщика
;
спрос фиктивного потребителя
,
а тарифы перевозок для фиктивных
поставщика и потребителя равны 0.
3. Решение тз методом потенциалов
Сущность метода: сначала находят опорный план решения задачи, а затем последовательно улучшают его до тех пор, пока не будет получен оптимальный план. Существует несколько способов построения опорного плана.
Определение 8.1. Опорный план называется невырожденным, если количество заполненных клеток равно n + m – 1.
Задача. Решить ТЗ, заданную следующей таблицей:
|
120 |
50 |
190 |
110 |
160 |
|
|
|
|
140 |
|
|
|
|
170 |
|
|
|
|
Так
как
и
,
то модель ТЗ закрытая.
1) Метод северо-западного угла.
Метод
позволяет за n+m–1
шаг заполнить клетки таблицы таким
образом, чтобы удовлетворить все
потребности, исчерпав при этом все
запасы. Заполнение клеток таблицы
начинается с левой верхней клетки для
и заканчивается клеткой
.
Получим опорное решение по методу северо-западного угла, заполнив таблицу:
|
120 |
50 |
190 |
110 |
160 |
|
|
|
|
140 |
|
|
|
|
170 |
|
|
|
|
Получен невырожденный план, так как число заполненных клеток равно 6, что совпадает со значением выражения n+m–1=4+3–1=6.
Определим
значение целевой функции для данного
плана решения задачи
.
2) Метод минимального элемента.
Последовательно заполняются клетки с наименьшей стоимостью перевозок. Если имеется несколько клеток с наименьшей стоимостью, то из них выбирается любая. Клетка заполняется максимально возможным числом, при этом исчерпываются либо запасы, либо потребности.
Найдем опорное решение по методу минимального элемента, заполнив таблицу:
|
120 |
50 |
190 |
110 |
160 |
|
|
|
|
140 |
|
|
|
|
170 |
|
|
|
|
Получен невырожденный план.
Значение
целевой функции для данного плана
решения задачи
.
3) Метод аппроксимации Фогеля.
В таблице по строкам и столбцам определяется разность между двумя наименьшими тарифами. Наибольшая разность помечается кружком О. Далее в строке (столбце) с наибольшей разностью заполняется клетка с наименьшим тарифом. Строки (столбцы) с нулевым остатком груза в дальнейший расчет не принимаются. На каждом этапе заполняется только одна клетка.
Найдем опорное решение по методу аппроксимации Фогеля, заполнив таблицу:
|
120 |
50 |
190 |
110 |
|
|
|
|
160 |
|
|
|
|
1 |
6 |
|
|
140 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
170 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
7 |
|
3 |
3 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
3 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
Получен невырожденный план.
Значение
целевой функции для данного плана
решения задачи
.
Как
правило, при построении опорного плана
вышеуказанными методами выполняется
соотношение
.
Замечание 8.1. При нахождении начального опорного плана перевозок возможен случай вырождения, когда в результате вычислений значения поставки получается, что потребности в пункте удовлетворены, а запасы в пункте исчерпаны. Тогда одновременно из рассмотрения выбывают строка и столбец. В этом случае рекомендуется осуществить в одну из клеток выбывающих строки и столбца (в клетку с наименьшей стоимостью) так называемую нулевую поставку. Клетка с такой поставкой считается заполненной.