Тема 4. Модифицированный симплекс-метод решения злп. Устойчивость оптимального решения злп

План лекции:

1. Обращенный базис и симплекс-множители

2. Алгоритм модифицированного симплекс-метода

3. Устойчивость оптимального решения ЗЛП

1. Обращенный базис и симплекс-множители

Рассмотрим решение ЗЛП с точки зрения линейной алгебры. В матричном виде каноническая форма ЗЛП имеет вид:

, где ,

.

Представим матрицу A в виде «склеенных» двух матриц . Здесь матрица – матрица, состоящая из столбцов матрицы A, соответствующих переменным, которые в оптимальной таблице являются базисными. Матрица состоит из всех оставшихся столбцов. Предположим, известна матрица B^–1. Умножим слева ограничения ЗЛП на матрицу B^–1:

, здесь , следовательно,

, следовательно, , .

В невырожденном допустимом базисном решении (НДБР) базисным переменным соответствует единичная матрица, то есть . Так как A умножается на B^–1, то , что соответствует матрице коэффициентов оптимальной таблицы. Следовательно, в оптимальной таблице в столбцах тех переменных, которые были базисными в НДБР находится матрица B^–1.

Определение 4.1. Матрица, находящаяся в оптимальной таблице среди коэффициентов ограничений, стоящих в столбцах тех переменных, которые были базисными в исходной таблице, называется обращенным базисом и обозначается B^–1.

Запишем ЗЛП в канонической форме с предпочтительными переменными:

.

Умножим каждое ограничение на некоторое число соответственно и сложим с выражением целевой функции, тогда получим:

. (4.1)

Значения можно подобрать таким образом, чтобы коэффициенты перед базисными переменными равнялись нулю. Без ограничения общности, например, первые m переменных являются базисными, тогда можно определить из системы:

.

Если предположить, что подобрали таким образом, что перед базисными переменными коэффициенты равны 0, а перед свободными – неотрицательны, то вид (4.1) будет соответствовать оптимальному виду таблицы. Следовательно, в оптимальной таблице коэффициенты в выражении целевой функции перед переменными, которые были базисными в исходной таблице, есть , при этом .

Определение 4.2. Симплекс-множители – это такие числа , при умножении на которые каждого ограничения соответственно и сложении с выражением целевой функции будет получен такой вид целевой функции, что перед базисными переменными коэффициенты равны нулю, а перед свободными – неотрицательны.

Замечание 4.1. Если не все коэффициенты свободных переменных в выражении целевой функции неотрицательны, то это симплекс-множители промежуточного решения.

2. Модифицированный симплекс-метод

Модифицированный симплекс-метод предусматривает выполнение точно таких же этапов, как и обычный симплекс-метод. Главное отличие между ними заключается в том, что в модифицированном симплекс-методе основные действия связаны с использованием обращенного базиса и симплекс-множителей, позволяющих использовать найденное решение ЗЛП, если происходят изменения условий задачи, при этом применяются следующие формулы:

Элементы симплекс-таблицы	Формулы
Столбцы симплекс-таблицы вне обращенного базиса	(4.2) (4.3)
Коэффициенты при свободных переменных целевой функции	(4.4) (4.5)
Значение целевой функции	(4.6) (4.7)

Элементы без знака « » – это элементы начальной итерации, а элементы со знаком « » – это элементы текущей итерации.

Задача. Кондитерская фабрика для производства трех видов карамели использует три вида сырья: сахар, патоку, фруктовое пюре согласно технологической таблице:

Вид сырья	Нормы расхода сырья на производство карамели			Общее количество сырья
	A	B	С
Сахар	0,4	0,5	0,6	8
Патока	0,6	0,4	0,3	6
Фруктовое пюре	0	0,1	0,1	1,2
Прибыль от реализации единицы продукции, ден.ед.	8	12	17

Найти план производства, обеспечивающий максимальную прибыль.

Решение задачи:

Введем обозначения: х₁ – количество карамели первого вида, х₂ – количество карамели второго вида, х₃ – количество карамели третьего вида. Тогда математическая модель задачи имеет вид:

.

Преобразуем математическую модель ЗЛП к допустимому предпочтительному виду канонической формы:

.

По алгоритму основного симплекс-метода заполним симплексную таблицу задачи:

N	б.п.	x1	x2	x3	x4	x5	x6	b
0	x4	4	5	6	1	0	0	80
	x5	6	4	3	0	1	0	60
	x6*	0	1	1	0	0	1	12
	F	-8	-12	-17*	0	0	0	0
1	x4*	4	-1	0	1	0	-6	8
	x5	6	1	0	0	1	-3	24
	x3	0	1	1	0	0	1	12
	F	-8*	5	0	0	0	17	-204
2	x1	1	-1/4	0	1/4	0	-3/2	2
	x5	0	5/2	0	-3/2	1	6	12
	x3	0	1	1	0	0	1	12
	F	0	3	0	2	0	5	-220

Ответ: x* = (2; 0; 12), = 220.

Таким образом, для получения кондитерской фабрикой максимальной прибыли в размере 220 ден. ед. надо производить 2 усл. ед. карамели первого вида и 12 усл. ед. третьего вида, производить карамель второго вида не стоит.