Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекционный курс.doc
Скачиваний:
48
Добавлен:
04.05.2019
Размер:
4.56 Mб
Скачать

4. Задача квадратического программирования

Одним из частных видов ЗВП является задача, в которой целевая функция содержит квадратичное слагаемое, а ограничения носят линейный характер. Такая задача относиться к квадратичному программированию.

В качестве основной в квадратичном программировании рассматривается задача минимизации функции

,

при ограничениях .

Далее будем считать, что решаемая задача квадратичного программирования является частным случаем ЗВП.

Функция Лагранжа в данном случае имеет вид:

.

Найдем стационарные точки функции Лагранжа:

С учетом ориентации и применяя теорему Куна-Таккера:

(10.1)

(10.2)

Преобразуем систему (10.1) к системе уравнений:

Отсюда:

Тогда систему уравнений (10.2) можно записать в виде:

. (10.3)

Чтобы учесть условие (10.3) при решении ЗНП надо следить за тем, чтобы среди базисных переменных не было u и x с одним и тем же индексом, аналогично λ и v.

Далее задача решается методом искусственного базиса.

Задача. Минимизировать функцию при ограничениях:

Составим функцию Лагранжа:

.

Составим локальные условия Куна-Таккера:

Преобразуем полученную систему ограничений к допустимому виду канонической формы:

Далее решаем задачу методом искусственного базиса, учитывая условие (10.3):

N

б.п.

x1

x2

λ1

λ 2

u1

u2

v1

v2

z

b

0

u1

-0,4

0

-2

-2

1

0

0

0

0

2

z

0

0,4

3

1

0

-1

0

0

1

3

v1*

2

3

0

0

0

0

1

0

0

13

v2

2

1

0

0

0

0

0

1

0

10

G

0

-0,4*

-3

-1

0

1

0

0

0

3

1

u1

-0,4

0

-2

-2

1

0

0

0

0

2

z*

-4/15

0

3

1

0

-1

-2/15

0

1

19/15

x2

2/3

1

0

0

0

0

1/3

0

0

13/3

v2

4/3

0

0

0

0

0

-1/3

1

0

17/3

G

41/5

0

-3*

-1

0

1

2/15

0

0

19/15

2

u1

0

0

1

0

128/45

λ1

-4/45

0

1

1/3

0

-1/3

-2/45

0

1/3

19/45

x2

2/3

1

0

0

0

0

1/3

0

0

13/3

v2

4/3

0

0

0

0

0

-1/3

1

0

17/3

G

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

Получили оптимальный план решения задачи . Найдем значение целевой функции в данной точке:

.

Ответ: , .

Педагогический комментарий. Данное лекционное занятие закладывает основы для формирования следующих профессиональных умений студентов-экономистов: умение разрабатывать и обосновывать варианты эффективных производственно-технологических решений; умение ставить цель и формулировать задачи, связанные с профессиональной деятельностью, умение использовать для их решения методы изученных дисциплин; умение логически мыслить; умение совершенствовать составление оперативно-производственного плана с использованием инструментария математического программирования; умение эффективно управлять экономическими процессами и регулировать использование комплекса имеющихся ресурсов; умение использовать аналитические методы решения задач математического программирования при наличии нелинейных функциональных зависимостей экономических переменных.