- •Тема 1. Математическая модель задачи линейного программирования (злп)
- •1. Предмет математического программирования
- •2. Математическая модель мп
- •3. Основные типы задач мп:
- •4. Многокритериальная оптимизация
- •5. Основные понятия теории оптимизации
- •6. Постановка злп. Различные формы записи ее математической модели
- •Тема 2. Графический метод решения злп. Закономерности и общие свойства решения злп
- •1. Геометрическая интерпретация решения злп
- •2. Алгоритм решения злп графическим методом
- •3. Возможные случаи области допустимых решений при решении злп графическим методом:
- •4. Основные свойства решений злп:
- •5. Классификация решений злп
- •6. Решение злп с точки зрения линейной алгебры
- •Тема 3. Симплексный метод решения задач линейного программирования
- •1. Суть симплексного метода
- •2. Критерий оптимальности решения злп
- •3. Алгоритм основного симплекс-метода:
- •4. Алгоритм двойственного симплекс-метода:
- •5. Алгоритм смешанного симплекс-метода:
- •6. Особые случаи симплекс-метода:
- •Тема 4. Модифицированный симплекс-метод решения злп. Устойчивость оптимального решения злп
- •1. Обращенный базис и симплекс-множители
- •2. Модифицированный симплекс-метод
- •3. Устойчивость оптимального решения злп:
- •Тема 5. Двойственность в линейном программировании
- •1. Понятие двойственности и теневой цены
- •2. Правила построения двойственной злп
- •3. Основные теоремы двойственности и их экономическое содержание
- •Тема 6. Элементы теории матричных игр
- •1. Основные понятия
- •2. Теоремы теории игр для парных матричных игр с нулевой суммой
- •3. Способы решения задач ти:
- •Тема 7. Матричные статистические игры
- •1. Понятие статистической игры
- •2. Критерии выбора оптимальной стратегии при решении статистической игры
- •3. Кооперативные игры
- •Тема 8. Транспортная задача (тз)
- •1. Постановка тз
- •2. Математическая модель тз
- •3. Решение тз методом потенциалов
- •4. Проверка плана на оптимальность
- •5. Цикл пересчета
- •6. Метод дифференциальных рент
- •7. Дополнительные ограничения тз
- •Тема 9. Дискретное программирование
- •1. Задача целочисленного линейного программирования
- •2. Метод Гомори
- •3. Метод ветвей и границ
- •Тема 10. Элементы нелинейного программирования
- •1. Постановка задачи нелинейного программирования
- •2. Метод множителей Лагранжа
- •3. Задача выпуклого программирования
- •4. Задача квадратического программирования
- •Тема 11. Метод динамического программирования
- •1. Общая постановка задачи динамического программирования
- •2. Принцип оптимальности. Функциональные уравнения Беллмана
- •3. Задача оптимального распределения инвестиций
- •4. Задача о замене оборудования
- •Тема 12. Программирование на сетях
- •1. Основные понятия теории графов
- •2. Экстремальное дерево графа
- •3. Матричные способы задания графов. Упорядочение элементов орграфа
- •4. Потоки на сетях. Постановка задачи о максимальном потоке
- •5. Разрез на сети. Теорема Форда-Фалкерсона. Алгоритм решения задачи о максимальном потоке
- •Тема 13. Планирование на сетях
- •1. Понятие сетевого графика
- •2. Основные параметры сг
- •3. Связь временных параметров сг
- •4. Алгоритм расчета параметров сг:
Тема 6. Элементы теории матричных игр
План лекции:
1. Основные понятия
2. Теоремы теории игр для парных матричных игр с нулевой суммой
3. Способы решения задач теории игр (ТИ)
1. Основные понятия
В ТИ рассматриваются ситуации связанные с принятием решений, в которых два лица, принимающих решение, имеют конфликтующие цели. К числу типичных примеров относится рекламирование конкурирующих товаров и планирование военных стратегий противоборствующих армий.
Каждый из двух участников игрового конфликта, именуемый игроком, имеет некоторое множество (конечное или бесконечное) возможных выборов решения, которые называются стратегиями. Такие игры известны как парные игры с нулевой суммой, так как выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.
При обозначении игроков через А и В с числом стратегий m и n соответственно игру обычно представляют в виде матрицы платежей игроку А:
A=
Такое представление матричной игры означает, что если игрок А использует стратегию i, а игрок В – j, то платеж игроку А составляет .
Определение 6.1. Ходом в игре называется принятие игроком на каждом ситуационном этапе определенного решения и выполнение на его основании действий, направленных на достижение поставленной этим игроком цели. Все допустимые альтернативные варианты хода игрока – стратегии.
Различают чистые и смешанные стратегии. Если очередной ход предписывается игроку однозначно (то есть вероятность осуществления такого хода равна 1), то стратегия называется чистой. Если же рекомендуется сделать ход с предписываемой вероятностью (0 < p < 1), то стратегия называется смешанной. Чистая стратегия, входящая в смешанную с ненулевой вероятностью, называется активной стратегией. Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры она обеспечивает ему максимально гарантированный средний выигрыш или минимальный средний проигрыш.
Последовательность осуществленных ходов от начала игры до ее исхода называется партией игры.
Найти решение игры значит определить оптимальные стратегии игроков и цену игры, при этом первый игрок стремится обеспечить себе наибольший выигрыш, а второй – наименьший проигрыш.
Рассмотрим игру со следующей матрицей платежа:
А=
Определение 6.2. Нижней ценой игры (максимином) называется число , определяемое по формуле:
.
Для указанной матрицы .
Определение 6.3. Верхней ценой игры (минимаксом) называется число определяемое по формуле:
.
Для указанной матрицы .
Стратегии игроков, соответствующие максимину (минимаксу), называются максиминными (минимаксными). Сумма выигрыша называется ценой игры и обозначается с.
В рассмотренной игре , что соответствует элементу матрицы . Элемент матрицы А, определяющий цену игры, называется седловой точкой, а сама игра – игрой с седловой точкой. В игре с седловой точкой оптимальное решение для каждого игрока – чистая стратегия. Решением рассмотренной задачи является .