Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекционный курс.doc
Скачиваний:
48
Добавлен:
04.05.2019
Размер:
4.56 Mб
Скачать

Тема 6. Элементы теории матричных игр

План лекции:

1. Основные понятия

2. Теоремы теории игр для парных матричных игр с нулевой суммой

3. Способы решения задач теории игр (ТИ)

1. Основные понятия

В ТИ рассматриваются ситуации связанные с принятием решений, в которых два лица, принимающих решение, имеют конфликтующие цели. К числу типичных примеров относится рекламирование конкурирующих товаров и планирование военных стратегий противоборствующих армий.

Каждый из двух участников игрового конфликта, именуемый игроком, имеет некоторое множество (конечное или бесконечное) возможных выборов решения, которые называются стратегиями. Такие игры известны как парные игры с нулевой суммой, так как выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.

При обозначении игроков через А и В с числом стратегий m и n соответственно игру обычно представляют в виде матрицы платежей игроку А:

A=

Такое представление матричной игры означает, что если игрок А использует стратегию i, а игрок В j, то платеж игроку А составляет .

Определение 6.1. Ходом в игре называется принятие игроком на каждом ситуационном этапе определенного решения и выполнение на его основании действий, направленных на достижение поставленной этим игроком цели. Все допустимые альтернативные варианты хода игрока – стратегии.

Различают чистые и смешанные стратегии. Если очередной ход предписывается игроку однозначно (то есть вероятность осуществления такого хода равна 1), то стратегия называется чистой. Если же рекомендуется сделать ход с предписываемой вероятностью (0 < p < 1), то стратегия называется смешанной. Чистая стратегия, входящая в смешанную с ненулевой вероятностью, называется активной стратегией. Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры она обеспечивает ему максимально гарантированный средний выигрыш или минимальный средний проигрыш.

Последовательность осуществленных ходов от начала игры до ее исхода называется партией игры.

Найти решение игры значит определить оптимальные стратегии игроков и цену игры, при этом первый игрок стремится обеспечить себе наибольший выигрыш, а второй – наименьший проигрыш.

Рассмотрим игру со следующей матрицей платежа:

А=

Определение 6.2. Нижней ценой игры (максимином) называется число , определяемое по формуле:

.

Для указанной матрицы .

Определение 6.3. Верхней ценой игры (минимаксом) называется число определяемое по формуле:

.

Для указанной матрицы .

Стратегии игроков, соответствующие максимину (минимаксу), называются максиминными (минимаксными). Сумма выигрыша называется ценой игры и обозначается с.

В рассмотренной игре , что соответствует элементу матрицы . Элемент матрицы А, определяющий цену игры, называется седловой точкой, а сама игра – игрой с седловой точкой. В игре с седловой точкой оптимальное решение для каждого игрока – чистая стратегия. Решением рассмотренной задачи является .