Тема 5. Двойственность в линейном программировании

План лекции:

1. Понятие двойственности и теневой цены

2. Правила построения двойственной ЗЛП

3. Основные теоремы двойственности и их экономическое содержание

1. Понятие двойственности и теневой цены

Каждой ЗЛП определенным образом можно поставить в соответствие некоторую другую задачу, называемую двойственной по отношению к исходной или прямой. С экономической точки зрения, двойственную задачу можно интерпретировать как задачу определения оптимальных оценок ресурсов, которые минимизируют их общую стоимость.

Составим двойственную задачу к задаче использования сырья. Исходная ЗЛП: пусть из двух типов бензина изготовляются два вида смеси согласно технологической таблице:

Вид сырья	Нормы расхода сырья		Ресурсы сырья
	А	В
Бензин 1-го типа	0,6	0,8	50
Бензин 2-го типа	0,4	0,2	30
Прибыль от реализации продукции, ден. ед.	10	12

Составить план производства смеси с целью получения максимального дохода.

Введем следующие обозначения: – количество бензина первого типа, – количество бензина второго типа. Тогда математическая модель исходной ЗЛП примет вид:

.

Решая задачу графическим методом, получим: x*=(70;10), F* =820.

Предположим, что второй производитель хочет перекупить сырье. Составим двойственную задачу, решение которой позволит определить условия продажи сырья. Введем вектор оценок (цен) видов сырья y=(y ,y ). Затраты на приобретение i-того вида сырья (i= ) в количестве равны . Второму производителю выгодно минимизировать суммарные затраты на приобретение каждого вида сырья, поэтому целевая функция примет вид:

.

Первому производителю невыгодно продавать сырье, если суммарная стоимость всех видов сырья, расходуемых на каждый тип бензина, меньше прибыли получаемой при реализации этого изделия. Система ограничений задачи имеет вид:

Решая задачу графическим методом, получим: y*=(14;40), Z* =820.

В результате получим симметричную пару двойственных задач:

Исходная ЗЛП	Двойственная ЗЛП

Переменные называются двойственными или объективно-обусловленными оценками.

Рассматриваемая пара взаимно двойственных задач может быть экономически интерпретирована так. Прямая ЗЛП: сколько и какой продукции надо произвести, чтобы при заданных стоимостях единицы продукции , объемах имеющихся ресурсов и нормах расходов максимизировать выпуск продукции в стоимостном выражении. Двойственная ЗЛП: какова должна быть оценка единицы каждого из ресурсов , чтобы при заданных минимизировать общую оценку затрат на все ресурсы.

Цены ресурсов в экономической литературе получили различные названия: учетные, неявные, теневые. Смысл этих названий состоит в том, что это условные, «ненастоящие» цены. В отличие от «внешних» цен на продукцию, известных, как правило, до начала производства, цены ресурсов являются внутренними, так как они задаются не извне, а определяются непосредственно в результате решения задачи, поэтому их чаще называют оценками ресурсов.

Теневая цена ресурса определяется для предприятия не рыночной стоимостью ресурса, а его ценностью с точки зрения прибыли от реализации продукции. Следовательно, теневая цена зависит от затраченного количества ресурса в единицу производимой продукции. Наибольшую ценность будут иметь те ресурсы, которые в наибольшей степени ограничивают выпуск продукции, а, следовательно, и прибыль предприятия, и на увеличение запасов которых предприятие согласно затратить значительные средства. Дорогое оборудование, не участвующее в технологическом процессе, составляет для предприятия нулевую ценность.

Кроме того, если используется один и тот же технологический процесс, требующий больших затрат некоторого ресурса, запасы которого ограничены, значит теневая цена велика, то завтра этот процесс может быть изменен таким образом, что позволит более экономно использовать все запасы ресурсов, следовательно, изменятся теневые цены. Но как бы ни усовершенствовался технологический процесс, совсем без ресурсов не обойтись. Таким образом, можно предположить, что существуют оптимальные теневые цены, соответствующие оптимальному распределению ресурсов.