5.6 Диференційне рівняння зігнутої серединної поверхні пластинки

У попередніх параграфах напруження й зусилля в пластинці виражені через прогини її серединної площини. Отже, для визначення напружень і зусиль необхідно знати функцію прогинів .

Виріжемо із серединної площини пластинки нескінченно малий елемент розмірами і покажемо прикладені до нього зусилля (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Зусилля в нескінченно малому елементі

На грані діє поперечна сила . На грані , що відстоїть від грані на нескінченно малій відстані , поперечна сила одержує нескінченно мале збільшення і дорівнює .

Аналогічно, на гранях і діють відповідно поперечні сили й . Нормально до серединної площини діє поверхневе навантаження інтенсивністю .

Для того щоб розглянутий елемент серединної площини перебував у рівновазі, повинні задовольнятися шість умов рівноваги: три рівняння проекцій сил на координатні осі і три рівняння моментів щодо цих осей. При цьому всі зусилля варто множити на довжину грані, по якій вони діють.

Спроектуємо всі сили, зображені на рис. 5.5, на вісь :

.

Після спрощення одержуємо

.

(5.12)

Рівняння моментів всіх сил щодо осі має вигляд

Після спрощення одержуємо

.

(5.13)

Аналогічно, з рівняння моментів щодо осі виходить

.

(5.14)

Виключимо з рівнянь (5.12)-(5.14) поперечні сили. У результаті одержимо

.

Підставимо в це рівняння вирази моментів (5.8) і (5.10):

,

звідки після спрощення

,

(5.15)

або

.

(5.16)

Одержали основне рівняння згинання пластинки, яке звичайно називається рівнянням Софі Жермєн. При його інтегруванні з'являться довільні постійні, які повинні бути визначені з умов на контурі пластинки, що залежать від характеру закріплення її країв.

5.7 Умови на контурі пластинки

Залежно від характеру закріплення країв на контурі пластинки можуть бути задані прогини й кути повороту серединної площини, згинаючі і крутні моменти, поперечні сили. Умови, при яких на контурі задаються переміщення, тобто прогини або кути; повороту серединної площини, називаються геометричними. Умови, при яких на контурі задаються зусилля, тобто згинаючі або крутні моменти й поперечні сили, називаються статичними. Якщо ж задані одночасно і переміщення, і зусилля, то умови називаються змішаними. На кожному краї варто задати дві граничних умови.

Сформулюємо граничні умови для різних випадків закріплення країв прямокутної пластинки (рис. 5.6).

Затиснений край . У защемленні відсутні прогини й неможливий поворот крайового перерізу щодо осі . У зв'язку із цим маємо наступні умови:

при

Рис. 5.6. До задавання граничних умов

Шарнірно обперті краї й . На них дорівнюють нулю прогини і згинальні моменти, тобто й . Виражаючи згинальний момент через прогини пластинки відповідно до формул; (5.8), останню умову можна представити так:

.

Однак при і другій похідній . тому граничні умови на шарнірно обпертих краях і приймають вид

при й

Вільний край . Тут повинні звертатися в нуль згинальний момент , поперечна сила і крутний момент , тобто замість необхідних двох умов з'являються три. Таке протиріччя пов'язане з тим, що задача вирішується приблизно і тому всім граничним умовам точно задовольнити не можна. Однак протиріччя можна усунути, об'єднавши дві останніх умови.

Покажемо, що крутний момент і поперечну силу на контурі пластинки можна замінити однією силою, статично їм еквівалентною. Розглянемо крутний момент , розподілений уздовж грані , паралельної ocи (рис. 5.7, а). На довжині діє крутний момент, рівний . Його можна представити у вигляді двох вертикальних протилежно спрямованих сил з плечем (рис. 5.7, б). На нескінченно малому видаленні крутний момент одержить збільшення й буде дорівнює . Його також можна представити у вигляді двох вертикальних протилежно спрямованих сил з тим же плечем .

а
б
в

Рис. 5.7. Зусилля на контурі пластинки

Подібну заміну крутних моментів вертикальними силами можна здійснити по всій довжині грані . На границі кожної нескінченно малої ділянки , за винятком крайніх точок і , буде прикладено по дві протилежно спрямовані сили, різниця між якими дорівнює . Отже, уздовж грані буде діяти вертикальна розподілена по її довжині навантаження інтенсивністю (рис. 5.7, в). У точках же й виникнуть зосереджені сили й . Отримане вертикальне навантаження можна об'єднати з поперечною силою і вважати, що на грані діє наведена поперечна сила інтенсивністю

.

(5.17)

Аналогічно, уздовж граней контуру пластинки, паралельних осі , буде діяти приведена поперечна сила інтенсивністю

.

(5.18)

Похідні крутного моменту по й знайдемо диференціюванням функції (5.10):

(а)

Підставляючи значення поперечних сил (5.9) і похідних крутного моменту (а) у формули (5.18) і (5.17), одержуємо

(5.19)

Таким чином, на кожній грані пластинки замість трьох зусиль: згинального моменту, крутного моменту й поперечної сили, - можна розглядати тільки два: згинальні моменти й приведена поперечна сила (позитивні напрямки наведених поперечних сил на всіх гранях, а також зосереджених сил, що виникають у кутах пластинки, показані на рис. 5.8).

Рис. 5.8. Позитивні напрямки зусиль

Отже, на вільній від закріплення грані замість трьох згаданих умов можна вимагати задовільнення лише двох:

.

(б)

Звичайно, при цьому граничні умови будуть задовольнятися приблизно. Але на підставі принципу Сен-Венана заміна поперечної сили й крутного моменту статично їм еквівалентною приведеною поперечною силою викличе лише місцеві напруження поблизу розглянутого краю пластинки

Внесемо в умови (б) вирази згинального моменту (5.8) і приведеної поперечної сили (5.19). Тоді на вільній грані , тобто при ,