Линейные комбинации векторов

Применяя линейные операции, можно составлять суммы векторов, умноженных на числа.

Вектор   называется линейной комбинацией векторов  , если он может быть представлен в виде

, где   — некоторые числа. В этом случае говорят, что вектор   разложен по векторам  , а числа   называют коэффициентами разложения. Линейная комбинация   с нулевыми коэффициентами называется тривиальной.

Отметим следующие свойства линейных комбинаций векторов:

1. Если векторы   — коллинеарны, то любая их линейная комбинация им коллинеарна.

2. Если векторы   — компланарны, то любая их линейная комбинация им компланарна.

Докажем, например, первое свойство. При умножении вектора на число получаем (по определению) вектор, колпинеарный данному. При сложении двух векторов, параллельных некоторой прямой, получаем (по определению) вектор, параллельный той же самой прямой. Поэтому линейная комбинация   двух коллинеарных векторов   и   коллинеарна им. По индукции свойство распространяется на любое конечное число коллинеарных векторов.

Билет 8.

§ 1. Ориентация пространства. Правые и левые тройки некомпланарных векторов.

Для дальнейшего изучения свойств пространства необходимо ввести определение ориентации пространства. Строгая теория, касающаяся этого понятия не очень сложна, но достаточно суха. В связи с этим ограничимся лишь некоторыми “качественными” пояснениями.

Итак, все упорядоченные некомпланарные тройки векторов могут быть разбиты на два непересекающихся класса: правые тройки и левые тройки.

Определение 1: Упорядоченная тройка некомпланарных векторов а₁, а₂, а₃ называетсяправой, если наблюдателю, находящемуся внутри телесного угла, образованного этими векторами, кратчайшие повороты от а₁ к а₂ и от а₂ к а₃ кажутся происходящими против часовой стрелки. Если повороты происходят по часовой стрелке, то тройка – левая.

 

Есть и ещё один способ разделить эти два класса:

Правило правой руки: Совместите начала всех векторов тройки в одной точке. Представьте, что в этой точке находится ладонь Вашей правой руки. Совместите большой палец с первым вектором базиса, а указательный – со вторым. Если теперь вы сможете совместить средний палец с третьим вектором, то рассматриваемая тройка векторов – правая. Если нет – левая.

Выбрав один из двух классов и назвав все входящие в него базисы “положительными” мы зададим ориентацию пространства.

 

Далее будем считать положительными правые тройки векторов. Все дальнейшие определения будем давать с учетом этого

 

§ 2. Скалярное произведение векторов.

 

Определение 2: Скалярное произведение ставит в соответствие паре векторов a и b число (a,b)=|a|·|b|·cosφ_a,b.

 

Свойства скалярного произведения:

1. коммутативность: (a,b)=(b,a)

2. (а,а)=|а|²

3. (a,b)=0 <=> a   b

4. Дистрибутивность: (a₁+а₂,b)= (a₁,b)+ (a₂,b)

5. (а, λ·b)= λ·(a,b)   λ   R.

Утверждение 1: В декартовом базисе если а={x₁,y₁,z₁}, b={x₂,y₂,z₂}, то (a,b)=x₁·x₂+y₁·y₂+z₁·z₂.

 

Пример 1. Найти угол между векторами.

 

§ 3. Векторное произведение векторов.

 

Определение 3: Векторным произведением упорядоченной пары векторов a и b называется вектор [a,b], такой что

1. | [a,b] |=S_a,b, где S_a,b – площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. (Если a || b, то S_a,b=0.)

2. a  [a,b]  b.

3. a, b, [a,b] – правая тройка.

Свойства векторного произведения:

1. [a,b] = -[b,a]

2. [a,b] = θ  a || b

3. [a₁+a₂,b] = [a₁,b]+[a₂,b]

4. λ·[a,b] = [λ·a,b] = [a,λ·b]   λ  R.

Утверждение 2: В декартовой системе координат (базис i, j, k), a={x₁, y₁, z₁}, b={x₂, y₂,z₂}

=> [a,b] = 

= 

 

Пример 2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b.