§4. Смешанное произведение векторов.

 

Определение 4: Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов a, b и cназывается число <a, b, c>, т.ч. <a,b,c>=([a,b],c).

 

Утверждение 3: <a,b,c>=V_a,b,c, если a,b,c – правая тройка, или <a,b,c>= -V_a,b,c, еслиa,b,c – левая тройка. Здесь V_a,b,c – объём параллелепипеда, построенного на векторах a, bи c. (Если a, b и c компланарны, то V_a,b,c=0.)

 

Утверждение 4: В декартовой системе координат, если a={x₁, y₁, z₁}, b={x₂, y₂, z₂},

с={x₃, y₃, z₃}, => <a,b,c>= .

Два ненулевых (не равных 0) вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допусти́м, но не рекомендуется синоним — «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).

В координатной форме

Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны. Например: Имеем векторы a(x1,y1,z1) и b(x2,y2,z2) Если x1/x2=y1/y2=z1/z2, то векторы коллинеарны.

[Править]Обозначения

• Коллинеарные векторы: 

• Сонаправленные векторы: 

• Противоположно направленные векторы: 

[Править]Свойства коллинеарности

Пусть   — векторы пространства  . Тогда верны следующие утверждения:

• Коллинеарность — отношение эквивалентности, то есть оно:

  1. рефлексивно: 

  2. симметрично: 

  3. транзитивно: 

• Нулевой вектор коллинеарен любому вектору: 

• Скалярное произведение коллинеарных векторов   равно произведению длин векторов (взятых со знаком «-», если векторы противоположно направлены)

• Векторы на плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда их псевдоскалярное произведение равно 0.

• Коллинеарные векторы линейно зависимы.

• Существует действительное число   такое, что   для коллинеарных   и  , за исключением особого случая  . Это определения и также критерий коллинеарности.

• На плоскости 2 неколлинеарных вектора   образуют базис. Это значит, что любой вектор   можно представить в виде:  . Тогда   будут координатами   в данном базисе.

Ортогона́льность — понятие, являющееся обобщением перпендикулярности для линейных пространств с введённым скалярным произведением.

Если скалярное произведение двух элементов пространства равно нулю, то они называются ортогональными друг другу.

Важной особенностью понятия является его привязка к конкретному используемому скалярному произведению: при смене произведения ортогональные элементы могут стать неортогональными, и наоборот.

Термин используется в других сложных терминах.

В математике

• Ортогональная группа — множество ортогональных преобразований.

• Ортогональнальная и ортонормированная системы — множество векторов с нулевым скалярным произведением любой пары; в ортонормированной — вектора единичные.

• Ортогональная матрица — матрица, столбцы которой образуют ортогональный базис.

• Ортогональная проекция — изображение трёхмерной фигуры на плоскости.

• Ортогональная сеть ― сеть, у которой касательные к линиям различных семейств ортогональны.

• Ортогональное преобразование — группа линейных преобразований.

• Ортогональные координаты — в которых метрический тензор имеет диагональный вид.

• Ортогональные многочлены — вид последовательности многочленов.

• Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов.

Билет 9.