Определения

Пусть имеется множество  , на котором введено отношение порядка.

Последовательность   элементов множества   называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.

 — неубывающая 

Последовательность   элементов множества   называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.

 — невозрастающая 

Последовательность   элементов множества   называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.

 — возрастающая 

Последовательность   элементов множества   называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.

 — убывающая 

Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей.^[1]

Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей.

Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.

Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» — в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно.

[Править]Промежутки монотонности

Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров  , а лишь для номеров из некоторого диапазона

(здесь допускается обращение правой границы   в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке  , а сам диапазон  называется промежутком монотонности последовательности.

[Править]Примеры

• Последовательность натуральных чисел.

  • .

  • Начальные отрезки:  .

  • Возрастающая последовательность.

  • Состоит из натуральных чисел.

  • Ограничена снизу, сверху не ограничена.

• Последовательность Фибоначчи.

  • 

  • Начальные отрезки:  .

  • Неубывающая последовательность.

  • Состоит из натуральных чисел.

  • Ограничена снизу, сверху не ограничена.

• Геометрическая прогрессия с основанием  .

  • .

  • Начальные отрезки:  .

  • Убывающая последовательность.

  • Состоит из рациональных чисел.

  • Ограничена с обеих сторон.

• Последовательность, сходящаяся к числу e.

  • .

  • Начальные отрезки:  .

  • Возрастающая последовательность.

  • Состоит из рациональных чисел, но сходится к трансцендентному числу.

  • Ограничена с обеих сторон.

• Последовательность рациональных чисел вида   не является монотонной. Тем не менее, она (строго) убывает на отрезке   и (строго) возрастает на промежутке  .

e — математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. Иногда число eназывают числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e». Численное значение^[1]: