- •2 Билет.
- •3 Билет.
- •Алгоритм Описание
- •Вычитание векторов
- •Умножение вектора на число
- •Свойства линейных операций над векторами
- •Линейные комбинации векторов
- •§ 1. Ориентация пространства. Правые и левые тройки некомпланарных векторов.
- •§ 2. Скалярное произведение векторов.
- •§ 3. Векторное произведение векторов.
- •§4. Смешанное произведение векторов.
- •В координатной форме
- •[Править]Обозначения
- •[Править]Свойства коллинеарности
- •Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов
- •1.Двумя точками (а и в).
- •2. Двумя плоскостями (; ).
- •3. Двумя проекциями.
- •Уравнение прямой по точке и вектору нормали
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Нормальное уравнение прямой
- •Угол между прямыми на плоскости
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
- •Расстояние от точки до прямой
- •Расстояние от точки до прямой
- •Угол между прямыми на плоскости
- •Уравнение плоскости
- •Угловой коэффициент в уравнении прямой. Геометрический смысл коэффициента.
- •Расстояние от точки до прямой
- •Взаимное расположение двух плоскостей (формулировки и примеры)
- •Угол между плоскостями
- •Прямая в пространстве
- •Числовые последовательности
- •Арифметические действия над числовыми последовательностями
- •Ограниченные и неограниченные последовательности
- •Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
- •Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями
- •Оновные свойства бесконечно малых последовательностей
- •Определения
- •[Править]Промежутки монотонности
- •[Править]Примеры
- •Способы определения
- •[Править]Свойства
- •Теорема о вложенных отрезках
- •Односторонний предел по Гейне
- •[Править]Односторонний предел по Коши
- •Теоремы о пределах
- •Второй замечательный предел
- •Исчисление бесконечно малых и больших
- •[Править]Бесконечно малая величина
- •[Править]Бесконечно большая величина
- •[Править]Свойства бесконечно малых
- •[Править]Сравнение бесконечно малых
- •[Править]Определения
- •[Править]Примеры сравнения
- •Определение непрерывности функции
- •Арифметические действия над непрерывными функциями
- •Определение
- •[Править]Существование
- •[Править]Примеры
- •[Править]Свойства
- •Понятие производной
- •Геометрический смысл производной
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Дифференцируемость
- •[Править]Замечания
- •Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Следствие
- •Доказательство Лагранжа
- •Отношение бесконечно малых
- •[Править]Отношение бесконечно больших
- •Так почему же это является неопределённостью? Править
Геометрический смысл производной
Рассмотрим график функции y = f(x), определенной и непрерывной на (a,b). Зафиксируем произвольную точку x на (a,b), и зададим приращение D x№ 0, причем x+D x О (a,b). Пусть точки M,P - точки на графике f(x), абсциссы которых равны x, x+D x (рис.21). Координаты точек M и P имеют вид M(x,f(x)), P(x+D x,f(x+D x). Прямую, проходящую через точки M, P графика функции f(x) будем называть секущей. Обозначим угол наклона секущей MP к оси ОX через f (D x).
Определение 3. Если существует предельное положение секущей MP при стремлении точки N к точке M вдоль графика функции при D x® 0), то это предельное положение называется касательной к графику функции f(x) в данной точке M этого графика.
Из данного определения следует, что для существования касательной к графику f(x) в точке M достаточно, чтобы существовал предел limD x® 0f (D x) = f 0, который равен углу, образованному касательной с положительным направлением оси OX.
ункция y=f(x) называется дифференцируемой в некоторой точке x0, если она имеет в этой точке определенную производную, т.е. если предел отношения существует и конечен.
Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [а; b] или интервала (а; b), то говорят, что онадифференцируема на отрезке [а; b] или соответственно в интервале (а; b).
Справедлива следующая теорема, устанавливающая связь между дифференцируемыми и непрерывными функциями.
Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке x0, то она в этой точке непрерывна.
Таким образом,из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.
Доказательство. Если , то
,
где α бесконечно малая величина, т.е. величина, стремящаяся к нулю при Δx→0. Но тогда
Δy=f '(x0) Δx+αΔx=> Δy→0 при Δx→0, т.е f(x) – f(x0)→0 при x→x0, а это и означает, что функция f(x) непрерывна в точке x0. Что и требовалось доказать.
Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное утверждение неверно: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми (т.е. не имеют в этих точках производной).
Р ассмотрим на рисунке точки а, b, c.
В точке a при Δx→0 отношение не имеет предела (т.к. односторонние пределы различны при Δx→0–0 и Δx→0+0). В точкеA графика нет определенной касательной, но есть две различные односторонние касательные с угловыми коэффициентами к1 и к2. Такой тип точек называют угловыми точками.
В точке b при Δx→0 отношение является знакопостоянной бесконечно большой величиной . Функция имеет бесконечную производную. В этой точке график имеет вертикальную касательную. Тип точки – "точка перегиба" cвертикальной касательной.
В точке c односторонние производные являются бесконечно большими величинами разных знаков. В этой точке график имеет две слившиесявертикальные касательные. Тип – "точка возврата" с вертикальной касательной – частный случай угловой точки.
Билет 39.
Дифференциал — это малое изменение величины в математическом выражении вследствие такого же незначительного изменения переменной.
Приближённые вычисления с помощью дифференциала
Формулу задающую определение дифференциала, можно записать в виде приближённого равенства если считать (при малых ) значение бесконечно малой величины много меньшим, чем . Перенося в правую часть, получаем: где . С учётом выражения дифференциала через частные производные, находим, что Эту формулу можно применять для приближённого вычисления значений функции в точках , если известны значения и её частных производных в точке . Пример 7 . 23 Пусть требуется приближённо вычислить значение Рассмотрим функцию и будем трактовать числа как малые отклонения на , , от "круглых" значений . Поскольку то дифференциал функции равен Значение функции в точке равно значения частных производных равны Поэтому и
Билет 40.
Таблица производных. Табличные производные."таблица производный"-да, к сожалению, именно так их и ищут в интернете |
|
Производная степенной функции |
Производная степенной функции |
|
|
Производная экспоненциальной функции |
Производная экспоненты |
Производная сложной экспоненциальной функции |
Производная экспоненциальной функции |
|
|
Производная логарифмической функции |
Производная натурального логарифма |
|
Производная натурального логарифма функции |
|
|
Производная синуса |
Производная косинуса |
Производная косеканса |
Производная секанса |
Производная арксинуса |
Производная арккосинуса |
Производная арксинуса |
Производная арккосинуса |
Производная тангенса |
Производная котангенса |
Производная арктангенса |
Производная арккотангенса |
Производная арктангенса |
Производная арккотангенса |
Производная арксеканса |
Производная арккосеканса |
Производная арксеканса |
Производная арккосеканса |
|
|
Производная гиперболического синуса Производная гиперболического синуса в английской версии |
Производная гиперболического косинуса Производная гиперболического косинуса в английской версии |
Производная гиперболического тангенса |
Производная гиперболического котангенса |
Производная гиперболического секанса |
Производная гиперболического косеканса |
Правила дифференцирования. Производная произведения. Производная частного. Производная сложной функции. |
|
Производная произведения (функции) на постоянную: |
|
Производная суммы (функций): |
|
Производная произведения (функций): |
|
Производная частного (функций): |
|
Производная сложной функции: |
|
Билет 42.