- •2 Билет.
- •3 Билет.
- •Алгоритм Описание
- •Вычитание векторов
- •Умножение вектора на число
- •Свойства линейных операций над векторами
- •Линейные комбинации векторов
- •§ 1. Ориентация пространства. Правые и левые тройки некомпланарных векторов.
- •§ 2. Скалярное произведение векторов.
- •§ 3. Векторное произведение векторов.
- •§4. Смешанное произведение векторов.
- •В координатной форме
- •[Править]Обозначения
- •[Править]Свойства коллинеарности
- •Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов
- •1.Двумя точками (а и в).
- •2. Двумя плоскостями (; ).
- •3. Двумя проекциями.
- •Уравнение прямой по точке и вектору нормали
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Нормальное уравнение прямой
- •Угол между прямыми на плоскости
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
- •Расстояние от точки до прямой
- •Расстояние от точки до прямой
- •Угол между прямыми на плоскости
- •Уравнение плоскости
- •Угловой коэффициент в уравнении прямой. Геометрический смысл коэффициента.
- •Расстояние от точки до прямой
- •Взаимное расположение двух плоскостей (формулировки и примеры)
- •Угол между плоскостями
- •Прямая в пространстве
- •Числовые последовательности
- •Арифметические действия над числовыми последовательностями
- •Ограниченные и неограниченные последовательности
- •Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
- •Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями
- •Оновные свойства бесконечно малых последовательностей
- •Определения
- •[Править]Промежутки монотонности
- •[Править]Примеры
- •Способы определения
- •[Править]Свойства
- •Теорема о вложенных отрезках
- •Односторонний предел по Гейне
- •[Править]Односторонний предел по Коши
- •Теоремы о пределах
- •Второй замечательный предел
- •Исчисление бесконечно малых и больших
- •[Править]Бесконечно малая величина
- •[Править]Бесконечно большая величина
- •[Править]Свойства бесконечно малых
- •[Править]Сравнение бесконечно малых
- •[Править]Определения
- •[Править]Примеры сравнения
- •Определение непрерывности функции
- •Арифметические действия над непрерывными функциями
- •Определение
- •[Править]Существование
- •[Править]Примеры
- •[Править]Свойства
- •Понятие производной
- •Геометрический смысл производной
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Дифференцируемость
- •[Править]Замечания
- •Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Следствие
- •Доказательство Лагранжа
- •Отношение бесконечно малых
- •[Править]Отношение бесконечно больших
- •Так почему же это является неопределённостью? Править
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
Определение. Последовательность { хn} называется бесконечно большой, если для как угодно большого любого положительного числа Асуществует номер N, зависящий от этого числа А, такой, что для всех последующих номеров n > N выполняется неравенство | xn | > A:
Замечание. Очевидно, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Однако неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3, …, 1, n + 1, … не является бесконечно большой, поскольку при A > 1 неравенство | xn| > A выполняется не для всех элементов xn с нечетными номерами. Определение. Последовательность {αn} называется бесконечно малой, если для любого как угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, зависящий от этого ε, такой, что для любых n > N выполняется неравенство |αn| < ε:
Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями
Теорема 1. Если { хn} — бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от нуля, то последовательность
бесконечно малая, и, обратно, если {αn} — бесконечно малая последовательность и все её члены отличны от нуля {αn} ≠ 0, то последовательность { 1 / αn } – бесконечно большая. Доказательство. Пусть { хn} — бесконечно большая последовательность. Возьмем любое как угодно малое положительное число ε > 0 и положим
Согласно определению для этого существует такой номер N , что при n > N будет | xn | > A. Отсюда получаем, что
для всех n > N. А это значит, что последовательность
бесконечно малая.
Оновные свойства бесконечно малых последовательностей
Теорема.Сумма (разность) двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Доказательство. Пусть {αn} и {βn} — бесконечно малые последовательности. Требуется доказать, что последовательность αn ± βn тоже бесконечно малая. Пусть ε – произвольное как угодно малое положительное число, N1 – номер, начиная с которого выполняется неравенство
,
N2 - номер, начиная с которого выполняется неравенство
.
(Такие номера N1 и N2 найдутся по определению бесконечно малой последовательности.) Возьмем
N = max {N1, N2},
тогда при n > N будут одновременно выполняться два неравенства:
|
и |
|
Следовательно, при n > N имеем
Это значит, что последовательность
αn ± βn
бесконечно малая. Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Теорема 3. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Доказательство. Пусть {αn} и {βn} — бесконечно малые последовательности. Требуется доказать, что последовательность {αn·βn} тоже является бесконечно малой. Так как последовательность {αn} бесконечно малая, то для любого как угодно малого положительного числа ε> 0 существует номер N1, зависящий от ε, такой, что для всех последующих номеров n > N1 ,будет выполнено неравенство
а так как {βn) – также бесконечно малая последовательность, то для любого как угодно малого положительного числа ε> 0 существует номер N2, зависящий от ε, такой, что для всех последующих номеров n > N2 ,будет выполнено неравенство
Возьмём N = max{N1, N2}, тогда при n > N будут одновременно выполняться оба неравенства. Следовательно,
Это означает, что последовательность {αn·βn} бесконечно малая. Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Теорема 4.Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность. Доказательство. Пусть {xn} – ограниченная, а {αn} – бесконечно малая последовательности. Требуется доказать, что последовательность{xn·αn} бесконечно малая. Так как последовательность {xn} ограничена, то существует число А > 0 такое, что любой элемент числовой последовательности {xn} удовлетворяет неравенству | xn| ≤ A. Возьмем любое как угодно малое положительное число ε > 0. Поскольку последовательность {αn} бесконечно малая, то для любого как угодно малого положительного числа ε/ A существует номер N такой, что при всех n > Nвыполняется неравенство
Следовательно, при n > N имеем
Это означает, что последовательность {xn·αn} является бесконечно малой числовой последовательностью. Следствие. Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.
Билет 25.
Понятие последовательности
Последовательностью элементов множества E называется отображение
т. е. функция, которая каждому натуральному числу ставит в соответствие элемент .
Для записи последовательности употребляем обозначения (xn), или x1, x2, ..., xn, ..., или xn = f(n), .
Элементы x1, x2, ..., xn, ... называются членами последовательности, а xn - общим членом последовательности.
Множество E может быть различным, например: R, Rm, C[a, b], и т.д. Если E = R, то последовательность называется числовой, если E = Rm, - векторной, если E = C[a, b], - функциональной, если E = - матричной и т. д. В каждом из этих случаев множество всевозможных последовательностей образует векторное нормированное, а следовательно, и метрическое пространство.
Сходящиеся последовательности и их свойства
Рассмотрим числовые последовательности.
Последовательность (xn) действительных чисел называется сходящейся, если существует действительное число a и для произвольного ε > 0 существует натуральное число m такое, что для всех n > m справедливо неравенство |xn - a| < ε.
При этом число a называют пределом последовательности (xn), что символически записывают
или xn → a при n → ∞.
С помощью логических символов определение запишется следующим образом: числовая последовательность (xn) называетсясходящейся, если
Сходящиеся последовательности в метрическом пространстве
Последовательность (xn) элементов метрического пространства E называется сходящей, если существуют элемент и для любого ε > 0 натуральное число m такое, что справедливо неравенство ρ(xna) < ε.
В этом определении натуральное число m можно заменить положительным действительным числом α, поскольку из неравенства n> α следует n > [α] = m.
Если в Rm задана последовательность с членами
такая, что существует , то эта последовательность сходится и справедливо равенство
Аналогично, если в задана последовательность
такая, что , то эта последовательность сходится и справедливо равенство
Билет 26 .
Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.