[Править]Примеры сравнения

• При   величина x⁵ имеет высший порядок малости относительно x³, так как  . С другой стороны, x³ имеет низший порядок малости относительно x⁵, так как  .

С использованием О-символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде x⁵ = o(x³).

•  то есть при   функции f(x) = 2x² + 6x и g(x) = x являются бесконечно малыми величинами одного порядка.

В данном случае справедливы записи 2x² + 6x = O(x) и x = O(2x² + 6x).

• При   бесконечно малая величина 2x³ имеет третий порядок малости относительно x, поскольку  , бесконечно малая 0,7x² — второй порядок, бесконечно малая   — порядок 0,5.

Билет 34.

Определение непрерывности функции

  Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки х₀. Функция f (x) называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т. е.

                     (5.1)

или

(   ε > 0 ) (   δ = δ (ε, x₀) > 0 ) (  | x - x₀ | < δ ) : | f ( x ) − f ( x₀) | < ε

  Заметим, что в этом случае окрестность точки х₀ не является выколотой, в отличие от определения предела. Напомним, что δ – окрестностью точки х₀ называют множество всех точек х, удалённых от точки х₀ на расстояние, меньшее чем δ. Для непрерывности функции в точке требуется выполнение двух условий: существование предела функции в данной точке и совпадение этого предела с тем значением, которое функция принимает в этой точке. Так как  , то соотношение (5.1) можно записать в следующем виде:

т. е. для непрерывной функции можно переставить знак функции и знак предела. Если функция непрерывна в точке х₀, то она определенна в этой точке, т.е. существует f (x₀). Заметим, что при определении предела функции в точке х₀ этого не требовалось.   Приведем еще одно определение непрерывности функции, которое по существу является перефразировкой данного определения непрерывности функции в данной точке. Если

то функция непрерывна в этой точке. Это определение вытекает из свойства предельного перехода функции в данной точке.   Приведем еще одно определение непрерывности функции, которое является перефразированной первого определения непрерывности. Перенесем в равенстве (5.1) f (x₀) под знак предела. Так как условие х → х₀ и (х − х₀) → 0 равносильны, то получаем

                     (5.2)

  Разность Δx = x - x₀ называется приращением аргумента х в точке x₀, разность Δy = f (x) − f (x₀) называется приращением функции в точке х₀, вызванным приращением аргумента Δх (рис. 5.13). При фиксированной точке х₀ величина Δу является функцией аргумента Δ х. Равенство (5.2) в новых обозначениях принимает вид

                     (5.3)

(5.3) является свойством непрерывной функции, которое можно сформулировать так: функция f (x) является непрерывной в точке х₀, если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при Δх → 0.

Арифметические действия над непрерывными функциями

  Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны в точке х₀. Тогда функции f (x) ± g (x), f (x)·g (x) и f (x) : g (x) также непрерывны в этой точке (в последнем случае предполагается g (х₀) ≠ 0).

Билет 35.

Классификация точек разрыва функции Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.  Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке Существуют левосторонний предел   и правосторонний предел  ; Эти односторонние пределы конечны. При этом возможно следующие два случая: Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу: Такая точка называется точкой устранимого разрыва. Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу: Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов   называется скачком функции. Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример 1

Исследовать функцию   на непрерывность. Решение. Данная функция не определена в точках x = −1 и x = 1. Следовательно, функция имеет разрывы в точкахx = ±1. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этих точках.        Поскольку левосторонний предел при x = −1 равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода.        Аналогично, левосторонний предел в точке x = 1 равен бесконечности. Эта точка также является точкой разрыва второго рода.

Пример 2

Показать, что функция   имеет устранимый разрыв в точке x = 0. Решение. Очевидно, данная функция не определена при x = 0. Поскольку sin x является непрерывной функцией для всехx, то искомая функция   также непрерывна при всех x за исключением точки x = 0.  Так как  , то в данной точке существует устранимый разрыв. Мы можем сконструировать новую функцию        которая будет непрерывной при любом действительном x.

Пример 3

Найти точки разрыва функции  , если они существуют. Решение. Данная функция существует при всех значениях x, однако она состоит из двух различных функций и, поэтому, не является элементарной. Исследуем "поведение" этой функции вблизи точки x = 0, где ее аналитическое выражение изменяется.  Вычислим односторонние пределеы при x = 0.        Следовательно, функция имеет точку разрыва первого рода при x = 0. Скачок функции в этой точке равен        При всех других значениях x функция является непрерывной, поскольку обе составляющие функции слева и справа от точки x = 0 представляют собой элементарные функции без точек разрыва.

Пример 4

Найти точки разрыва функции  , если они существуют. Решение. Данная элементарная функция определена для всех x, исключая точку x = 0, где она имеет разрыв. Найдем односторонние пределы в этой точке.        Видно, что в точке x = 0 существует разрыв первого рода (рисунок 2). Рис.2 Рис.3

Пример 5

Найти точки разрыва функции  , если таковые существуют. Решение. Функция определена и непрерывна при всех x, за исключением точки  , где существует разрыв. Исследуем точку разрыва.        Так как значения односторонних пределов конечны, то, следовательно, в точке   существует разрыв первого рода. График функции схематически показан на рисунке 3.

Билет 36.

Основные свойства непрерывных функций

Функция f: [a, b] → R называется непрерывной на сегменте [a, b], если она непрерывна на интервале ]a, b[ и в точке aнепрерывна справа, а в точке b - слева.

Пусть функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], тогда:

1) она ограничена на этом сегменте;

2) если  , то на сегменте [a, b] существуют точки x₁ и x₂ такие, что f(x₁) = m, f(x₂) = M (теорема Вейерштрасса);

3) она принимает на каждом сегменте  , все промежуточные значения между f(α) и f(β) (теорема Коши).

В частности, если f(α)f(β) < 0, то найдется такое значение γ (α < γ < β), то f(γ) = 0.

Функция f: ]a, b[ → R называется кусочно-непрерывной на интервале ]a, b[, если она непрерывна во всех точках этого интервала, кроме конечного числа точек разрыва первого рода и конечного числа точек устранимого разрыва.

Билет 37.

Сложная функция

Сложная функция, функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = j(х), то у является С. ф. от х, то есть y = f [(x)], определённой для тех значенийх, для которых значения j(х) входят в множество определения функции f (u). В таком случае говорят, что уявляется С. ф. независимого аргумента х, а u — промежуточным аргументом. Например, если у = u², u = sinx, тоу = sin²х для всех значений х. Если же, например, у =   , u = sinx, то у =   , причём, если ограничиваться действительными значениями функции, С. ф. у как функция х определена только для таких значений х, для которых sin ³ 0, то есть для   , где k = 0, ± 1, ± 2,...

Производная С. ф. равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу. Это правило (цепное правило) распространяется на С. ф. с двумя, тремя и т. д. промежуточными аргументами: если у = f (u₁), u₁ = j(u₂),..., u_k-1= j_k-1(u_k), u_k = j_k (x), то

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.