- •2 Билет.
- •3 Билет.
- •Алгоритм Описание
- •Вычитание векторов
- •Умножение вектора на число
- •Свойства линейных операций над векторами
- •Линейные комбинации векторов
- •§ 1. Ориентация пространства. Правые и левые тройки некомпланарных векторов.
- •§ 2. Скалярное произведение векторов.
- •§ 3. Векторное произведение векторов.
- •§4. Смешанное произведение векторов.
- •В координатной форме
- •[Править]Обозначения
- •[Править]Свойства коллинеарности
- •Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов
- •1.Двумя точками (а и в).
- •2. Двумя плоскостями (; ).
- •3. Двумя проекциями.
- •Уравнение прямой по точке и вектору нормали
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Нормальное уравнение прямой
- •Угол между прямыми на плоскости
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
- •Расстояние от точки до прямой
- •Расстояние от точки до прямой
- •Угол между прямыми на плоскости
- •Уравнение плоскости
- •Угловой коэффициент в уравнении прямой. Геометрический смысл коэффициента.
- •Расстояние от точки до прямой
- •Взаимное расположение двух плоскостей (формулировки и примеры)
- •Угол между плоскостями
- •Прямая в пространстве
- •Числовые последовательности
- •Арифметические действия над числовыми последовательностями
- •Ограниченные и неограниченные последовательности
- •Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
- •Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями
- •Оновные свойства бесконечно малых последовательностей
- •Определения
- •[Править]Промежутки монотонности
- •[Править]Примеры
- •Способы определения
- •[Править]Свойства
- •Теорема о вложенных отрезках
- •Односторонний предел по Гейне
- •[Править]Односторонний предел по Коши
- •Теоремы о пределах
- •Второй замечательный предел
- •Исчисление бесконечно малых и больших
- •[Править]Бесконечно малая величина
- •[Править]Бесконечно большая величина
- •[Править]Свойства бесконечно малых
- •[Править]Сравнение бесконечно малых
- •[Править]Определения
- •[Править]Примеры сравнения
- •Определение непрерывности функции
- •Арифметические действия над непрерывными функциями
- •Определение
- •[Править]Существование
- •[Править]Примеры
- •[Править]Свойства
- •Понятие производной
- •Геометрический смысл производной
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Дифференцируемость
- •[Править]Замечания
- •Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Следствие
- •Доказательство Лагранжа
- •Отношение бесконечно малых
- •[Править]Отношение бесконечно больших
- •Так почему же это является неопределённостью? Править
Уравнение плоскости
Пусть в трехмерном пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Попробуем установить, какой вид может иметь уравнение плоскости. Для этого заметим, что все плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны друг другу.
Определение 11.2 Любая прямая, перпендикулярная плоскости, называется нормалью к плоскости, а любой ненулевой вектор на такой прямой мы будем называтьнормальным вектором плоскости.
Замечание 11.1 Из определения видно, что нормальный вектор у фиксированной плоскости определяется не однозначно. Все нормальные векторы одной плоскости коллинеарны друг другу и поэтому получаются один из другого умножением на число, отличное от нуля.
Для того чтобы из параллельных плоскостей выбрать одну, достаточно задать точку, через которую проходит эта плоскость. Итак, если у плоскости известны нормальный вектор и точка, через которую она проходит, то плоскость определена однозначно.
Теорема 11.1 Пусть вектор является нормальным вектором плоскости , проходящей через точку . Тогда уравнение
|
(11.1) |
является уравнением плоскости .
Доказательство. Пусть -- некоторая точка плоскости (рис. 11.1). Иногда говорят "текущая точка" плоскости, так как предполагается, что ее координаты меняются и точка пробегает всю плоскость.
Рис.11.1.
Вектор лежит на плоскости . Следовательно, вектор ортогонален вектору n. Если же взять точку , не лежащую на плоскости , то вектор не будет ортогональным вектору n. Так как условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения (свойство 8, теорема 10.2), то условием того, что точка лежит в плоскости , является выполнение равенства
|
(11.2) |
Выразив скалярное произведение в левой части этого равенства через координаты сомножителей по формуле (10.1), получим формулу (11.1).
Пусть r -- радиус-вектор текущей точки плоскости , -- радиус-вектор точки . Тогда уравнение (11.2) можно переписать в виде
Такое уравнение обычно называют векторным уравнением плоскости .
Раскроем скобки в уравнении (11.1). Так как точка -- фиксированная, то выражение является числом, которое обозначим буквой . Тогда уравнение (11.1) принимает вид
|
(11.3) |
Такое уравнение называется общим уравнением плоскости. Еще раз отметим, что в этом уравнении хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, так как .
Верно и обратное утверждение:
Теорема 11.2 Всякое уравнение (11.3), в котором , является уравнением плоскости, ортогональной вектору .
Доказательство. Условие означает, что хотя бы одно из чисел , отлично от нуля. Пусть это будет, например, число . Преобразуем уравнение (11.3) следующим образом:
По теореме 11.1 такое уравнение является уравнением плоскости с нормальным вектором n, проходящей через точку .
Теорема 11.1 позволяет написать уравнение плоскости, если известна точка этой плоскости и вектор, ортогональный плоскости. Однако, довольно часто встречаются задачи, где требуется получить уравнение плоскости, если известна точка, лежащая на ней, и два неколлинеарных вектора, лежащих или, что то же самое, параллельных плоскости. Покажем на примере, как решается такая задача.
Пример 11.1 Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной векторам и .
Решение. Векторное произведение по определению 10.26 ортогонально векторам p и q. Следовательно, оно ортогонально искомой плоскости и вектор можно взять в качестве ее нормального вектора. Найдем координаты вектора n:
то есть . Используя формулу (11.1), получим
Раскрыв в этом уравнении скобки, приходим к окончательному ответу.
Ответ: .