Определение

Функция   является обратной к функции  , если выполнены следующие тождества:

• f(g(y)) = y для всех 

• g(f(x)) = x для всех 

[Править]Существование

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение x = F(y) относительно y. Если оно имеет более чем один корень, то функции обратной к F не существует. Таким образом, функция f(x) обратима на интервале (a;b) тогда и только тогда, когда на этом интервале она инъективна.

Для непрерывной функции F(y) выразить y из уравнения x − F(y) = 0 возможно в том и только том случае, когда функция F(y) монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её монотонности. Например,   является обратной функцией к x² на  , хотя на промежутке   обратная функция другая:  .

[Править]Примеры

• Если  , где a > 0, то F ^{− 1}(x) = log _ax.

• Если  , где   фиксированные постоянные и  , то 

• Если  , то 

[Править]Свойства

• Областью определения F ^{− 1} является множество Y, а областью значений множество X.

• По построению имеем:

или

,

,

или короче

,

,

где   означает композицию функций, а id_X,id_Y — тождественные отображения на X и Y соответственно.

• Функция F является обратной к F ^{− 1}:

.

• Пусть   — биекция. Пусть   её обратная функция. Тогда графики функций y = F(x) и y = F ^{− 1}(x) симметричны относительно прямой y = x.

• Непрерывность обратной функции

• Пусть   -- функция, непрерывная на отрезке  . Предположим, что   монотонна на  ; пусть, для определённости, она монотонно возрастает: из   следует, что  . Тогда образом отрезка   будет отрезок  , где   и   (действительно, непрерывная функция принимает любое промежуточное между   и  значение, причём ровно один раз, что следует из монотонности). Поэтому существует обратная к   функция   функция, действующая из   в  . Очевидно, что  монотонно возрастает. (Если бы функция   была монотонно убывающей, то и обратная к ней функция   тоже была бы монотонно убывающей.)

•         Теорема 3.11   Пусть   -- непрерывная монотонная функция,  ,  . Тогда обратная к   функция   непрерывна на отрезке  .

•         Доказательство.     Во-первых, заметим, что если  ,  , то  .

• Во-вторых, пусть  ; рассмотрим функцию  , которая определена при  . Очевидно, что   -- непрерывная на   функция, поэтому она принимает наименьшее значение   в некоторой точке  :

• 

• Таким образом, если  , то  , то есть если  , то  . Последнее утверждение можно переформулировать так: для любого числа   найдётся число  , такое что при   выполняется неравенство  . (При этом  ,  ,  ,  .) Получили, что функция   удовлетворяет определению равномерной непрерывности на отрезке  ; тем самым доказано утверждение теоремы.      

Билет 38.

Понятие производной

Рассмотрим задачу, которая приводит к понятию производной. Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент t₀. За период от t₀ до t₀+D t количество продукции изменится от u(t₀) до u₀+D u = u(t₀+D t). Тогда средняя производительность труда за этот период z = D u/D t, поэтому производительность труда в момент t₀

z = lim_D t® 0D u/D t.

Определение 1 (производная). Производной функции y = f(x) в фиксированной точке x называется предел

lim_D x® 0D y/D x

при условии существования этого предела.

Производная обозначается следующим образом f'(x) или y'.

Пример 1. Вычислить производную функции y = sin x. Найдем приращение функции:

D y = sin(x+D x)-sin x = 2sin(D x/2) cos (x+D x/2).

По определению производной

(sin x)' = lim_D x® 0D y/D x = lim_D x® 0(cos (x+D x/2)(sin D x/2)/(D x/2)) = =cos x,

так как

lim_D x® 0cos (x+D x/2) = cos x.

Таким образом,

(sin x)' = cos x.

Определение 2. Правой (левой) производной называется правый (левый) предел

lim_{D x® 0 + 0}D y/D x

lim_{D x® 0 - 0}D y/D x ,

если эти пределы существуют.

Для обозначения правой (левой) производной используют символ: f'(x+0) f'(x-0). Необходимым и достаточным условием существования производной является равенство f'(x+0) = f'(x-0).

Пример 2. Доказать, что f(x) = 3|x|+1 не имеет производной в точке x = 0. Составим D y = 3(0+D x)+1-1=3D x при D x>0. При D x<0 D y = -3(0+D x)+1-1=-3D x, значит,

lim_D x® 0-0D y/D x =-3, lim_D x® 0+0D y/D x = 3.

Поэтому данная функция не имеет производной в точке x = 0.