Угловой коэффициент в уравнении прямой. Геометрический смысл коэффициента.

Преобразуем уравнение прямой ax + by + c=0 к виду    Введем обозначения    Тогда получим y = kx + l.    Возьмем две точки на прямой A (x1; y1) и B (x2; y2), такие что x1 < x2.  Их координаты удовлетворяют уравнению прямой:    Вычитая эти равенства почленно, получим    Проведя прямую через точку A параллельно оси x и прямую через точку B параллельную оси y, мы получим треугольник ABC. Замечаем, что    Если прямая расположена следующим образом :    То    Таким образом, коэффициент k в уравнении прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью x.  Коэффициент k в уравнении прямой называется угловым коэффициентом прямой.

Билет 16.

Расстояние от точки до прямой

Теорема. Если задана точка М(х₀, у₀), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

            Доказательство. Пусть точка М₁(х₁, у₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М₁:

                                                                                                (1)

Координаты x₁ и у₁ могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М₀ перпендикулярно заданной прямой.

            Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x₀) + B(y – y₀) + Ax₀ + By₀ + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

.

Есть система Ax + By + C=0, (1) A(y-y0) - B(x-x0)=0.(2) В первом уравнении прибавим и вычтем Ax0 и Bx0: A(x-x0) + B(y-y0) + Ax0 + By0 + C=0 (3) Выразим из второго ур-ния y-y0: y-y0 =(x-x0) * B / A  Подставим в третье: A(x-x0) + B^2 * (x-x0) / A + Ax0 + By0 + C=0 Сгруппируем x-x0: (x-x0)* (A^2 + B^2) / A + Ax0 + By0 + C=0 Отсюда выражаете x-x0. Для y-y0 аналогично.

Билет 17.

Взаимное расположение двух плоскостей (формулировки и примеры)

Взаимное расположение двух плоскостей характеризуется двумя возможностями.

1). Две плоскости не имеют общих точек, и , в таком случае, они называются параллельными (на рис. 28  || ).

Две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, и в таком случае они называются пересекающимися. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат обе общие точки этих плоскостей (аксиома). Таким образом, две плоскости пересекаются по прямой (на рис. 28   и   пересекаются по прямой a, a   и   - по прямой b).

Пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла. Если один из них прямой, тогда и остальные углы тоже прямые, а плоскости называются перпендикулярными. В качестве параллельных плоскостей на каждом шагу встречаем параллельные грани одного дома. Плоскости стен домов перпендикулярны плоскости земли.

Угол между плоскостями

Р ассмотрим две плоскости α₁ и α₂, заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами   и   плоскостей α₁ и α₂ равен одному из указанных смежных двугранных углов   или  . Поэтому  . Т.к.  и  , то

.

Пример. Определить угол между плоскостями x+2y-3z+4=0 и 2x+3y+z+8=0.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α₁ и α₂ параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы   и   параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

 или 

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно,  или  .

Таким образом,  .

Примеры.

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

M(-2; 1; 4) параллельно плоскости 3x+2y-7z+8=0.

Уравнение плоскости будем искать в виде Ax+By+Cz+D=0. Из условия параллельности плоскостей следует, что:  . Поэтому можно положить A=3, B=2, C=-7. Поэтому уравнение плоскости принимает вид3x+2y-7z+D=0.

Кроме того, так какM α, то-6+2-28+D=0, D=32.

Итак, искомое уравнение 3x+2y-7z+32=0.

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M₁(1; 1; 1), M₂(0; 1; –1) перпендикулярно плоскостиx+y+z=0.

Так как M₁ α, то используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, будем иметьA(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0.

Далее, так как M₂ α, то подставив координары точки в выписанное уравнение, получим равенство -A-2C=0 илиA+2C=0.

Учтем, что заданная плоскость перпендикулярна искомой. Поэтому A+B+C=0.

Выразим коэффициенты Aи Bчерез C: A=-2C, B=C и подставим их в исходное уравнение: -2C(x-1)+C(y-1)+C(z-1)=0.

Окончательно получаем -2x+y+z=0.

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(-2; 3; 6) перпендикулярно плоскостям 2x+3y-2z-4=0 и 3x+5y+z=0.

Так как M α, то A(x+2)+B(x-3)+C(z-6)=0.

По условию задачи  , поэтому

Итак уравнение плоскости принимает вид 13(x+2)-8(y-3)+z-6=0 или 13x-8y+z+44=0.

Билет 18-19.