- •2 Билет.
- •3 Билет.
- •Алгоритм Описание
- •Вычитание векторов
- •Умножение вектора на число
- •Свойства линейных операций над векторами
- •Линейные комбинации векторов
- •§ 1. Ориентация пространства. Правые и левые тройки некомпланарных векторов.
- •§ 2. Скалярное произведение векторов.
- •§ 3. Векторное произведение векторов.
- •§4. Смешанное произведение векторов.
- •В координатной форме
- •[Править]Обозначения
- •[Править]Свойства коллинеарности
- •Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов
- •1.Двумя точками (а и в).
- •2. Двумя плоскостями (; ).
- •3. Двумя проекциями.
- •Уравнение прямой по точке и вектору нормали
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Нормальное уравнение прямой
- •Угол между прямыми на плоскости
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
- •Расстояние от точки до прямой
- •Расстояние от точки до прямой
- •Угол между прямыми на плоскости
- •Уравнение плоскости
- •Угловой коэффициент в уравнении прямой. Геометрический смысл коэффициента.
- •Расстояние от точки до прямой
- •Взаимное расположение двух плоскостей (формулировки и примеры)
- •Угол между плоскостями
- •Прямая в пространстве
- •Числовые последовательности
- •Арифметические действия над числовыми последовательностями
- •Ограниченные и неограниченные последовательности
- •Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
- •Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями
- •Оновные свойства бесконечно малых последовательностей
- •Определения
- •[Править]Промежутки монотонности
- •[Править]Примеры
- •Способы определения
- •[Править]Свойства
- •Теорема о вложенных отрезках
- •Односторонний предел по Гейне
- •[Править]Односторонний предел по Коши
- •Теоремы о пределах
- •Второй замечательный предел
- •Исчисление бесконечно малых и больших
- •[Править]Бесконечно малая величина
- •[Править]Бесконечно большая величина
- •[Править]Свойства бесконечно малых
- •[Править]Сравнение бесконечно малых
- •[Править]Определения
- •[Править]Примеры сравнения
- •Определение непрерывности функции
- •Арифметические действия над непрерывными функциями
- •Определение
- •[Править]Существование
- •[Править]Примеры
- •[Править]Свойства
- •Понятие производной
- •Геометрический смысл производной
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Дифференцируемость
- •[Править]Замечания
- •Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Следствие
- •Доказательство Лагранжа
- •Отношение бесконечно малых
- •[Править]Отношение бесконечно больших
- •Так почему же это является неопределённостью? Править
Производные и дифференциалы высших порядков
Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,
f"(x) = (f'(x))'.
Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f(n). Итак,
f(n)(x) = (f(n-1)(x))', n ϵ N, f(0)(x) = f(x).
Число n называется порядком производной.
Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,
dnf(x) = d(dn-1f(x)), d0f(x) = f(x), n ϵ N.
Если x - независимая переменная, то
dx = const и d2x = d3x = ... = dnx = 0.
В этом случае справедлива формула
dnf(x) = f(n)(x)(dx)n.
Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, которое содержит производные неизвестной функции (или нескольких неизвестных функций). Вместо производных могут содержаться дифференциалы.
В тех случаях, когда неизвестные функции зависят только от одного аргумента, то оно называется обыкновенным, ну а если от нескольких, то уравнение будет называться дифференциальным уравнением с частными производными (ДУЧП). Здесь пока что рассматриваются только обыкновенные.
Общий вид дифура с одной неизвестной функцией таков: Φ(х,у,у',у",...,у(n)) = 0.
А его порядком называется порядок наивысшей из производных, входящих в это уравнение. То есть в выше указанно виде мы имеем ДУ n-го порядка.
Примеры. Уравнение у' = y2/x есть ДУ первого порядка; а уже у" + у = 0 — второго порядка, ну а y'2 = х3 — так же первого.
Функция у = φ(х) называется решением ДУ, если последнее обращается в тождество после подстановки у = φ(х).
Основной задачей теории дифуров является нахождение всех решений данного ДУ, а их всегда много, так как они могут отличаться минимум на какую-то константу. В простых случаях эта задача сводится к нахождению интеграла. Поэтому его решение еще могут называть его интегралом, а процесс нахождения всех этих решений — интегрированием дифференциального уравнения. Вообще интегралом данного ДУ называют всякое уравнение, не содержащее производных, из которого данное диф. ур. вытекает как следствие.
Дифференцируемость
Основная статья: Дифференцируемая функция
Производная функции f в точке x0, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x0 тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:
Для дифференцируемой в x0 функции f в окрестности U(x0) справедливо представление
при
[Править]Замечания
Назовём Δx = x − x0 приращением аргумента функции, а Δy = f(x0 + Δx) − f(x0) приращением значения функции в точке x0. Тогда
Пусть функция имеет конечную производную в каждой точке Тогда определена произво́дная фу́нкция
Функция, имеющая конечную производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно.
Если производная функция сама является непрерывной, то функцию f называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут:
Билет 43.
Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций. Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция y = f(x). Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей:
Теперь продифференцируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что y - это функция от x.
Отсюда видно, что искомая производная равна
|
Пример 1 |
|
Вычислить производную функции . Решение. Применяем логарифмическое дифференцирование:
|
Пример 2 |
|
Найти производную функции . Решение. Прологарифмируем обе части и затем продифференцируем.
|
Пример 3 |
|
Вычислить производную функции . Решение. Возьмем логарифм от обеих частей:
Теперь продифференцируем левую и правую части:
|