30Игры с природой подходы к решению игр с природой

Принимать управленческие решения нередко приходится в ситуациях неопределённости, вызванной отсутствием информации об объективных условиях, в которых осуществляется действие.

Модели, используемые для анализа таких ситуаций, называются играми с природой.

Человек- сторона А, как разумный участник игры с природой, старается действовать осмотрительно, природа же принимает свои состояния случайным образом, кА её стратегии можно рассматривать

• различные погодные условия

• уровни спроса на продукцию

• сочетание производственных факторов.

Пусть у стороны А имеется m возможных стратегий А, А,…А. Об обстановке можно сделать предположений. П, П,…П - стратегии природы. Выигрыш человека а - при каждой паре стратегий АП задаётся матрицей:

Так же могут быть известны вероятности наступления состояний природы Q_1, Q_2,… Q_n ( их сумма 1). Требуется выбрать такую стратегию игрока А, которая является более выгодной по сравнению с другими. Эта стратегия может быть чистой или смешанной, если последняя имеет смысл..

На первый взгляд принять решение в игре с природой легче, чем в стратегической, т.к. противник не является разумным и злонамеренным, и нет необходимости вести себя осторожно. Однако обоснованный выбор стратегии в такой ситуации сделать гораздо сложнее. Неопределённость связанную с отсутствием информации о вероятностях наступления состояний природы называют БЕЗНАДЁЖНОЙ или ПОЛНОЙ. Если человек желает получить гарантийный выигрыш, то при условии многократного повторения описанной ситуации, для принятия решений можно использовать теорию стратегических игр.

1. решение нах- ся только для игрока А

2. в случае сокращения игры можно вычёркивать только строки.

Но основным подходом к решению игр с природой выступает теория статистических решений. При этом в качестве лучшей выбирается одна из чистых стратегий игрока А

29Метод Брауна

В практических задачах часто нет необходимости находить точное решение игры, достаточно найти приближённое решение, обеспечивающее средний выигрыш близкий к цене игры.

Ориентировочно цену игры v можно найти из платёжной матрицы, установив значения нижней, верхней цены игры, если альфа и вэтта близки, то в качестве оптимальных можно взять максиминную и минимаксную стратегии сторон соответственно. Если же альфа и вэтта не близки, то приближённые решения игры можно найти по методу Брауна.

Идея метода: разыгрывается мысленно эксперимент, в котором стороны А и В применяют друг против друга свои стратегии. Эксперимент состоит из последовательности отдельных партий игры. Начинается он с того, что один из игроков ( например, А) выбирает произвольно одну из своих стратегий (например, А_i ), противник отвечает той своей стратегией, которая менее выгодна для игрока А, то есть обращает его выигрыш при стратегии А_i в минимум. На этот ход игрок А отвечает такой стратегией (А_k), которая даёт игроку А максимальный выигрыш при стратегии противника В_q (эту стратегию игрок В уже применял), далее снова очередь противника. Игрок В отвечает на пару ходов А_i и А_k игрока А той своей стратегией В_L , которая даёт игроку А наименьший средний выигрыш на одну партию и т. д.

Таким образом, на каждом шаге итерационного процесса игроки отвечают на очередной ход противника той своей стратегией, которая является оптимальной относительно всех предыдущих ходов противника, рассматриваемых как некая смешанная стратегия, в которую чистые стратегии входят в пропорциях, определяемых частотой их применения. Можно доказать, что процесс итерации сходится. Сходимость метода очень медленная, его преимущество в том, что сложность расчетов сравнительно мало возрастает с увеличением размеров игры.

Вычисления в итерационном методе Брауна удобно располагать в таблице: в лев. нижнем углу записывается платёжная матрица, строки ниже матрицы содержат сложенный за S партий возможный выигрыш первого игрока. Столбцы правее матрицы представляют собой, сложенный за S партий сложенный за партий второго игрока.

Пусть после партий S игрок А обнаружил, что его противник выбрал Q- чистую стратегию Q_q раз по кол- ву звёздочек в Q столбце под матрицей. Соответственно можно полагать, что игрок В придерживается стратегии S_B равное(Q₁/S, Q₂/S, …Q_n/S).

Аналогично игрок В после S партий предполагает, что смешанная стратегия игрока А- это S_A =( P₁/S, P₂/S, …P_n/S), где Р_i- частота появления i-ой стратегии за S партий игры.

Степень приближения к оптимальному решению зависит от выбора начальной стратегии и от кол- ва ходов.