31Элементы теории статистических решений
Наиб. простым является случай, когда какая-то из стратегий человека превосходит другие- на ней и следует остановиться. Если в матрице игры нет доминирующей стратегии, следует сравнить почленно между собой строки, с целью вычёркивания дублирующих и заведомо невыгодных стратегий.
Затем для принятия решений в условиях полной неопределённости использ- ся след. критерии:
1) Максиминный критерий Вальда.
В качестве лучшей выбирается та стратегия, при кот. её минимальный выигрыш максимален.
w = Pj
2) Критерий крайнего оптимизма (авантюристический).
Предполагается, что состояние природы будет наиб. благоприятным для игрока А, поэтому он должен выбрать стртегию, обеспечивающую максимальный выигрыш среди максимально возможных
A= max max aij
3) Критерий оптимизма- пессимизма Гурвица.
При выборе решения, вместо 2-х крайностей в оценке ситуации следует придерживаться некоторой промежуточной позиции: игрок А должен для кажд. своей стратегии опр-ть линейную комбинацию максимального и мин-го выигрыша, а затем выбрать ту стратегию, для которой эта величина окажется наибольшей.
H = max (X max aij+ ( 1- X) min aij)
X- степень оптимизма человека (0=< X=<1)
4) Критерий минимаксного риска Сэвиджа.
Строится матрица рисков ( сожалений). Её элементы показывают какой убыток понесёт игрок А , если для кажд. состояния природы не выберет наилучшего решения. Риском rij при выборе решения aij при условиях Pj наз- ся разность м/у максим. выигрышем, кот. можно получить при состоянии природы Pj и выигрышем, кот. получит игрок при этом состоянии, применяя стратегию ai
rij= max aij - aij.
Т.О., для построения матрицы рисков:
1. в кажд. столбце платёж. матрицы опред- ся наиб. элемент
2. эл-т матрицы рисков получается вычитанием соответствующего эл- та платёж. матрицы из максимального эл- та данного столбца.
Согласно критерию Сэвиджа в качестве лучшей рекоменд- ся выбрать стратегию, обеспечивающую миним. значение максим- го риска.
S= min max rij
5) Принцип недостаточного основания Лапласа
Можно считать , что все состояния природы равновероятны и для выбора оптимальной стратегии следует воспольз- ся критерием максимума математического ожидания выигрыша.
L
=
max
1/n
Полезно рассмотреть ситуацию с точки зрения всех перечисленных критериев, если рекомендации совпадают; можно смело выбирать предлагаемую ими стратегию.
6) В условиях риска ( если известны вероятности наступлений состояний природы) решение принимается при помощи критерия Байесса- Лапласа. Для кажд. своей стратегии игрок А опр- т сред. выигрыш и в качестве лучшей выбирает ту, для кот. сред. выигрыш максимален
B L= max *Qj
Эти вероятности Q1; Q2; … Qn м. оценить, основываясь на частотах появления состояния природы в прошлом.
31Обзор статистических игр с экспериментами
Принимая решения в игре с природой, мы не можем знать заранее в каком именно состоянии природа будет нах- ся в момент реализации решения, даже если известно решение вероятности её состояния. Поэтому выбранная стратегия, являясь лучшей для данного распределения вероятностей распределения природы, необязательно будет лучшей для того состояния, которое природа примет в действительности.
Исследователь (статистик) располагает возможностью проводить различ. эксперименты, позволяющие получить дополнит. инф-ю о ситуации, тем самым снизить неопределённость в плане знаний действительного состояния природы.
Очевидно, что при проведении достаточно большого кол- ва разнообр- х экспериментов можно выяснить, какое состояние природа примет в момент реализации решения. Возможности исследователя ограничены, т.к. проведение эксперимента предполагает определённые затраты времени и средств. Возникают вопросы: какие и сколько экспериментов целесообразно провести, в каком порядке их проводить.
Планирование процесса проведения экспериментов, цель которых получение дополнит. информации о действительном состоянии природы предст. собой основное содержание теории статистических решений.
Термин: статистические игры с экспериментами
1) Единичные
2) Неединичные эксперименты (фиксированные, нефиксированные).
Единичный- Объём и порядок проведения его заранее определены и не м.б. изменены во времени проведения эксперимента.
Различают:
1) Идеальные
2) Неидеальные
Идеальный единичный эксперимент приводит к полной ликвидации неопределённости, т. е. к выполнению того, какое именно состояние природы будет иметь место в момент реализации решения.
Неидеальный единичный э-т не позволяет точно выяснить, какое состояние примет природа, дает дополнит. инфор- ю о тех или иных её состояниях (уточняются вероятности наступления состояния природы).
В статистич. играх с единич. экспериментами выводы о целесообразности проведения экспериментов и выборе оптим. стратегий статистик делает заранее до проведения эксперимента, т.е. на основании только той инфор- ей, которой он располагает до проведения эксперимента (на основании априорной (доопытной) информации).
Однако можно поступить и по-другому.
Вместо проведения всех испытаний, входящих в эксперимент, после кажд. последовательного испытания можно решить: прекратить дальнейшие испытания и выбрать какую- то стратегию из числа возможных на основании уже имеющейся инфор-ции или же продолжить испытание с целью увеличения объёма информации, необходимой для выбора лучшей стратегии. Это статистические игры с единичными экспериментами.
Т.О., отличия статис. игр с единичными неидеальными экспериментами следующие:
1. Решение о выборе лучшей стратегии принимают не до проведения эксперимента, а в ходе его, т.е. с использ-ем апосториорной (послеопытной ) инф- ей, получ-ой в рез- те реализованной части эксперимента.
2. Предъявляются менее жёсткие требования к точности исх. ( априорной) инфо.
Среди статистических игр с неединич. экспериментами различают:
1) статистич. игры с усечённым последовательным эксп- том.
2) статистич. игры с неогранич. последовательным эксп-том.
В 1) задаётся предельно допустимое число послед- х эксп- тов, после проведения кот- х решение о выборе лучшей стратегии д.б. обязательно принято, даже если это не удалось сделать раньше.
Во 2) такое ограничение числа э-тов отсутствует.