27.Игры 2*n,m*2.

На плоскости poq введемс/с корд-т на оси Ор отложим отрезок единич.длины А1А2,в кажд.точке кот. поставим соответс.некот.смешан.стр-гии:S_A=(p₁,p₂) (p₁,1-p₁).стности в т.А1 (0,1)отвечает стр-я а1,а в т. А2(1,0)-а2.В т.А1,А2 восстановим перпенд-ры и на полученных прямых б.откладывать выигрыш сторон.На 1-м отложен выигр.игр.А при стр-гии а1,на 2-м –игр.А при стр-гии а2 для кажд.стр-гии игр.Б и соединим получен.точки.Расстояние до полученных прямых от оси Ор опред-т ср.выигр.игр.А при любых сочетаниях его чистых стр-гий.Ординаты точек,принадл.ломаной В1МВ’2 опред-м мин.выигр. ирг.А при примен-ии им любых смеш.стр-гий,этот мин.выигр.максимален в т.М,→этой точке соответ-т оптим.стр-я S_a^*(p₁^*,p₂^*),а ордината т.М опред-т цену игры(V).Координаты т.М находят как ординаты т.пересеч-я прямых В1В1’ и В2В2’.Реш-ся с/с из 3 уравн-й с 3 неизвестными,что первые 2 уравн-я соотв-т названным прямым,а 3 - ∑вер-стей р1,р2 дает 1.Аналогично находим оптим.стр-гию для игр.Б в игре m*2.

Осн.этапы нахождения решения игр:1)строят прямые,соотв.стр-гиям 2(1) игрока.2)опред-т нижнюю(верх.)границу выигрыша.3)находят 2 стр-гию 2(1)игрока,кот.соотв-т 2 прямые пересекающ-ся в точке с max(min)ординатой.4)опред-т цену игры и оптим.стр-гию.

28.Сведение задачи теории и. К злп.

Рассм-ся И. m*n.Матрица известна.Седл.точки нет.Треб-ся опред-ть смеш.стр-гии игроков S_a^*,S_b^*.Найдем стр-ю S_a^* сначала.Эта стр-гия д.обеспечивать ирг.А выиг-ш не <V,при любой стр-гии противника и выиг-ш,=V при испол-нии игроком В оптим.стр-гии S_b^*.цена И.нам пока неизвестна,но б. полагать,что она «+».Предположим,что игр.А применяет оптим.стр-ию S_a^*,а противник отвечает стр-гией В1,тогда матем.ожидание выиг-ша игр.А составит а₁₁р₁+а₂₁р₂+…+а_m1p_m>=V.Оптим.стр-гия S_a^* обладает свойством при любом поведении противника обесп-ть игр.А выиг-ш не меньше,чем цена игры(V).Аналог. условия запис-ся и для др.чистых стр-гиях игр.В.:

а₁₁р₁+а₂₁р₂+…+а_m1p_m>=V,

а₁₂р₁+а₂₂р₂+…+а_m2p_m>=V,

а_1nр₁+а_2nр₂+…+а_mnp_m>=V.

р1+р2+…+р_n=1-д.б. такими,чтобы V было максимально.F(P,V)=V→max; р_1,2,..,m>=0.Разделим обе части каждого ограничения на V:

а₁₁р₁/V+а₂₁р₂/V+…+а_m1p_m/V>=V/V,

а₁₂р₁/V+а₂₂р₂/V+…+а_m2p_m/V>=V/V,

а_1nр₁/V+а_2nр₂/V+…+а_mnp_m/V>=V/V.Введем новые переменные:х₁=р₁/v,х₂=р₂/v,…,x_m=p_m/v.

а₁₁х₁+а₂₁х₂+…+а_m1х_m>=1,

а₁₂х₁+а₂₂х₂+…+а_m2х_m>=1,

а_1nх₁+а_2nх₂+…+а_mnх_m>=1.

x1+x2+…+x_m=1/v.х(1,2,..,m)>=0. F(x)=x1+x2+…+x_m→min.Получим ЗЛП,для реш-я кот. испол-ся симплекс.метод.При реш-и найдем оптим.знач-я переменных х1,х2,..,хm.Можно рассчитать V,а затем вычислить вер-сти р1,р2,..,рm.Определим теперь S_b^*.Составим условия для игр.В.Математ. ожидание проигрыша:

а₁₁q₁/V+а₂₁q₂/V+…+а_m1q_m/V<=V/V,

а₁₂q₁/V+а₂₂q₂/V+…+а_m2q_m/V<=V/V,

а_1nq₁/V+а_2nq₂/V+…+а_mnq_m/V<=V/V.Введем новые переменные:y₁=q₁/v,y₂=q₂/v,…,y_m=q_m/v.

а₁₁y₁+а₂₁y₂+…+а_m1y_m<=1,

а₁₂y₁+а₂₂y₂+…+а_m2y_m<=1,

а_1ny₁+а_2ny₂+…+а_mny_m<=1.

y1+y2+…+y_m=1/v.y(1,2,..,m)>=0. F(y)=y1+y2+…+y_m→max.Мы получили ЗЛП(симплекс),опред-м оптим. знач-е переменных у1,у2,…,у_m.затем рассч-т V,а затем вычислить вер-сти q1,q2,..,qm.Также для опред-я оптим.смеш.стр-гий А и В м.использовать теорию двойственности.

В14 Прямая и двойственная задачи. Правила составления двойственной задачи.

Каждой задаче линейного программирования можно определенным образом сопоставить некоторую др. задачу, называемую двойственной по отношению к исходной или прямой задачи. Двойственная задача строится по определенным правилам: 1. Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений системы исходной задачи. 2.Коэф-ми перед переменными в целевой ф-ции двойственной задачи выступают свободные члены из системы ограничений исходной задачи. 3. если прямая задача решается на МАХ, то двойственная на MIN и наоборот.4 Число ограничений системы двойственной задачи=числу переменных исходной задачи. 5. Коэф-тами перед неизвестными в системе ограничений двойственной задачи выступают коэф-ты перед неизвестными из системы ограничений исх. Задачи, но строки и столбцы нужно поменять местами 6.Свободными членами системы ограничений в двойственной задаче явл-ся коэф-ты перед переменными из целевой ф-ции исх.задачи. 7. Если ограничения двойственной задачи соответсвуют перем-й прямой задачи, кот. подчиняется условию неотрицательности, то это ограничение имеет вид неравенства; если двойственная задача на MIN, то знак неравенства . Если ограничение двойственной задачи соотв-т перемен-й прямой задачи, кот. не подчиняется условию неотрицательности, то это огранич-е имеет вид уравнения. 8Если переменная двойственной задачи соот-т ограничению - неравенству исходной задачи, то эта переменная подчиняется условию неотрицательности. Если переменная двойственной задачи соответствует ограничению – уравнению исходной задачи, то она не ограничена по знаку. Замечания: Если исходная задача решается на максимум, а система ограничений содержит неравенства разного знака, то целесообразно привести их к виду ≤,тогда неравенство системы ограничений двойственной задачи будут иметь вид≥