45. Методы выполнения расчетов по модели Леонтьева.

1) Метод приближенные решения системы балансовых уравнений.

А11х1+а12х2+…+а1nxn+y1=x1

A21x1+a22x2+…+a2nxn+y2=x2

An1x1+an2x2+…+annxn+yn=xn

Т.к. все коэф-ты прямых затрат и объем валов.продукции отрасли неотрицат-ны, то неотрицат-ны и слагаемые в левых частях уравнения. Тогда из уравнения системы следует, что наим.значение объема валов.продукции=объему конечн.прод-и. След-но за начальное (нулевое) приближение знач-е валов.продукции отрасли м.принять знач-е объема конечн.прод-и. Х1⁽⁰⁾=у1; Х2⁽⁰⁾=у2; Хn⁽⁰⁾=уn. В кач-ве след.приближения (1 иттерации) для х1, х2…, принимаются знач-я , кот-е получ-ся из уравнения системы, если в них в левой части подставить вместо х1, х2…, знач-е, принятое на нулевой иттерации.

A11y1+a12y2+…+a1nyn+y1=x1⁽¹⁾

A21y1+a22y2+…+a2nyn+y2=x2⁽¹⁾

An1y1+an2y2+…+annyn+yn=xn⁽¹⁾

На след.иттерации знач-е V валов.прод-ииприн6имаются равными знач-м, полученным из уравнения системы подстановкой в них вместо х1, х2,…хn –x1⁽¹⁾ ; x2⁽¹⁾ ; xn⁽¹⁾. Т.о.на К-той иттерации получим

A11x1^(K-1)+ A12x2^(K-1)+…+ A1nxn^(K-1)+y1=x1^(K)

A21x1^(K-1)+ A22x2^(K-1)+…+ A2nxn^(K-1)+y2=x2^(K)

An1x1^(K-1)+ An2x2^(K-1)+…+ Annxn^(K-1)+yn=xn^(K)

Для кажд.знач-я валов.продукции в рез-те иттерац-го процесса получим след.последоват-ть знач-й

Х1⁽⁰⁾=у1, Х1⁽¹⁾, Х1⁽²⁾, Х1^(К),

Х2⁽⁰⁾=у2, Х2⁽¹⁾, Х2⁽²⁾, Х2^(К),

Хn⁽⁰⁾=уn, Хn⁽¹⁾, Хn⁽²⁾, Хn^(К),

Каждая из рассмотренных последовательностей моноттонно возрастающая. Доказано, что если максим.сумма абсол.величин коэффиц-в по тсрокам системы уравн-й меньше 1, то кажд.из рассмотр-х выше последоват-тей сходится, что явл-ся достаточным условием сходимости иттерац.процесса.

2) Иттерац-ый метод Зейделя. Сходимость иттерационного процесса м.ускорить воспользовавшись тем, что каждый из расмотр.выше последоват-й монотонно возрастает. М.Зейделя состоит в след.: на нулевой иттерации в кач-ве приближенных знач-й объема валов.прод-и берут величины у1, у2…уn. Х1⁽⁰⁾=у1; Х2⁽⁰⁾=у2; Хn⁽⁰⁾=уn. На 1 иттерации получают как и впредыд.методе A11y1+a12y2+…+a1nyn+y1=x1⁽¹⁾. При вычислении х2 во 2 уравнении вместо х1-х1⁽¹⁾, а вместо х2…хn - y2…yn. При нахождении х3 на 1 иттерации вместо х1 и х2 - х1⁽¹⁾ и х2⁽¹⁾, а вместо остальных переменных х соответ-е у и т.д.

A21х1⁽¹⁾+a22y2+…+a2nyn+y2=x2⁽¹⁾

An1x1⁽¹⁾+an2x2⁽¹⁾+…+annyn+yn=xn⁽¹⁾

Т.о. на К-ой иттерации формулы для опред-я х1, х2, хn следующее:

A11x1^(K-1)+ A12x2^(K-1)+…+ A1nxn^(K-1)+y1=x1^(K)

A21x1^(K)+ A22x2^(K-1)+…+ A2nxn^(K-1)+y2=x2^(K)

An1x1^(K)+ An2x2^(K)+…+ Annxn^(K-1)+yn=xn^(K)

При проведении иттерац.по этому методу сходимость знач-й x1^(K) x2^(K) xn^(K) к своим предельным знач-м происходит быстрее, чем в 1 методе. М.доказать, что если матрица А удовлетворяет опред.усл-м, то справедливо равенство (Е-А)^-1=Е+А+А²+…+А^К. Правая часть этого равенства- матрица, пред-ая собой сумму неогранич.числа матриц, поэтому кажд.ее элемент явл-ся суммой сходящегося числового ряда, составленная как сумма соответ.элементов матриц Е, А, А² и т.д. Т.о., чтобы вычислить приближенные элементы полных затарт достат-но взять сумму первых К членов рассмотренного ряда. (Е-А)^-1Е+А+А²+…+А^К – метод последовательных приближений.