В12 Построение опорного начального плана м-дом искусственного базиса.

F (Х)= С1Х1+С2Х2+…+СnХnMAX (1)

а11х1+а12х2+а1nхn=b1

а21х1+а22х2+…+а2nхn=b2 (2)

аm1х1+аm2х2+…+аmnхn=bm

х1 0 х2 0 хn 0 (3)

В данном случае ограничения в системе (2) не содержат базисных переменных  к каждому равенству прибавляют по одной переменной (искусственные переменные), при этом величина Сn+i предполагается достаточно малым отрицательным числом, если задача решается на МАХ (Сn+i= –М)и достаточно большим положительным числом, если задача решается на МIN (Сn+i=М). В результате получают так называемую расширенную задачу. Для задачи 1;2;3; расширенная задача имеет вид:

F(X)=C1X1+C2X2+...+CnXn-MXn+1 – MXn+2 – MXn+mMAX (4)

а11х1+а12х2+...+а1nхn+xn+1=b1

а21х1+а22х2+…+а2nхn+xn+2=b2 (5)

аm1х1+аm2х2+…+аmnхn+xn+m=bm

х1 0 х2 0 хn 0 xn+m0 (6)

задача 4;5;6; записана в базисной форме ее можно решать симплекс-методом. Первый опорный план таков, что в базисе будут искусственные переменные, однако коэф-ты Сn+i у абсолютной величины значительно превосход. остальные коэф-ты целевой ф-ции позволяет выводить из базиса искусственные переменные и вводить в базис переменные исходные задачи. Для отыскания оптимального плана исп-ой задачи исп-ют след. теорему: если в оптимальном плане Х* расширенной задачи переменные Хn+i=0,то план Х*=(Х*1,х*2,…,Х*n)явл-ся оптимальным планом исходной задачи. Решаем расширенную задачу симплекс-методом необходимо руководствоваться след.:1. для первого опорного плана F(X) и дельта оц-ки состоят из двух частей: одна из кот. зависит от n, а др. нет. В симплексной таблице две оценочные строки. При этом /m+2/-ой строке помещают коэф- ты при М, а /m+1/-ой строке помещают слагаемые не содержащие М. Проверка рассматриваемого опорного плана на оптимальность, а также выбор ключевого столбца осущ-тся по показателям /m+2/-ой строки искусственные переменные исключ-е из базиса на некоторой итерации в дальнейшем не могут быть введены в базис и соответствующий столбец можно не заполнять. 2. пересчет симплекс-табл. При переходе от одного опорного плана к др. производят по общим правилам симплексного метода. Итерационный процесс по /m=2/-ой строке производят до тех пор пока не исключат из базиса все искусственные переменные. Затем процесс отыскания оптимального плана продолжается по /m+1/-ой строке. Доказано, что: 1. если в оптимальном плане расширенной задачи хотя бы одна из искусственных переменных положительна, то исходные задачи не имеют допустимых планов. 2.если расширенная задача не имеет решения то исходная задача не разрешима. В13. Построение начального опорного плана общей задачи.

Рассмотрим на примере :

F(X)=5X1+X2MAX

Х1-Х25

4Х1+Х21

7Х1+2Х2=4

Х1 0; Х2 0

Общая задача смешанная система ограничений.

F(X)=5X1+X2+0X3-0X4MAX (канонич. Вид)

Х1-Х2+Х3=5

4Х1+Х2-Х4=1

7Х1+2Х2=4

Хi 0

Т.к. во 2 и 3 уравнениях нет базисных переменных, то добавим туда искусственные переменные и будем решать задачу по м-ду искусственного базиса.F(X)=5X1+X2+0X3-X4-MX5-VX6MAX

Х1-Х2+Х3=5

4Х1+Х2-Х4+Х5=1

7Х1+2Х2+Х6=4

Х1…Х60

Первое опорное решение:Х1=Х2=Х4=0; Х3=5; Х5=1; Х6=4.

Далее строим симплекс-таблицу