33. Статистические игры с единичным идеальным экспериментом.

Постановка задачи: статистик располагает возможностью выбора одной из m стратегий: А1, А2,…, Аm. Относительно состояния природы можно сделать n предположений П1, П2,…, Пn. Причем вероятности наступления событий известны Q1, Q2, …, Qn.

( Q1+ Q2+…+ Qn) = 1.

Известна матрица выигрышей:

Аi \ Пi П1 П2 … Пn

А1 а11 а12 … а1n

А2 а21 а22 … а2n

… … … … …

Аm аm1 аm2 ... аmn

аij – выигрыш статистика при выборе стратегии аi в условиях, когда природа принимает состояние Пj.

Для снижения степени неопределенности ситуации статистик может провести единичный идеальный эксперимент, в результате которого выяснит, какое состояние примет природа. Затраты на проведение эксперимента известны и равны С, измеряются в тех же единицах, что и выигрыш в платежной матрице. Требуется определить, целесообразно ли проведение данного эксперимента и какая стратегия будет оптимальной при проведении эксперимента и в случае отказа от него.

Для того чтобы ответить на первый вопрос, следует сравнить мах-но возможный средний выигрыш без проведения эксперимента со средним выигрышем, который можно получить после эксперимента.

1. Мах средний выигрыш без проведения эксперимента определяется по критерию .

n

 = мах  аij * Qi

i j=1

2. Средний выигрыш, который можно получить после проведения эксперимента, определяется следующим образом. Если эксперимент проведен, то известно, какое состояние примет природа. Пусть им оказалось состояние Пj, тогда игроку А следует использовать ту стратегию, для которой при состоянии Пj его выигрыш максимален.

Вj = мах аij

i

Вопрос о целесообразности проведения эксперимента нужно решить заранее, значит, необходимо рассчитать средний максимальный выигрыш, который в достаточно длинной последовательности партий игр в условиях полного предвидения равен:

_ n

В =  Bj * Qj

j=1

3. С учетом затрат С средний выигрыш статистика при проведении эксперимента равен: _ _

_ В эксп = В – С

4. Если В эксп превышает , то эксперимент проводить целесообразно, иначе от эксперимента следует отказаться.

Ответ на второй вопрос следующий: после выполнения эксперимента и выяснения действительного состояния природы в качестве оптимальной следует выбрать ту стратегию, которая для данного состояния природы обеспечит человеку мах выигрыш. Если эксперимент проводить нецелесообразно, то лучшая стратегия определяется по критерию Байеса- Лапласа.

Правила, определяющие целесообразность проведения единичного идеального эксперимента можно сформулировать по другому: эксперимент целесообразен, если затраты на его осуществление меньше минимального среднего риска:

n

С  min  r ij * Qj

i j=1

34. Статистические игры с единичным неидеальным экспериментом.

Не всегда возможен эксперимент, позволяющий точно определить будущее состояние природы. Пусть исход единичного эксперимента случаен и состоит в появлении одного из к событий S1, S2, …, Sк. Каждый исход наступает с некоторой вероятностью W lj – это условная вероятность появления исхода Sl для состояния природы Пj.

(l = 1, k), (j = 1, n). Распределение этих вероятностей зависит от состояния природы: к

 Wlj = 1.

l=1

Матрица условных вероятностей известна:

Sl\ Пl П1 П2 … Пn

S1 W11 W12 ... W1n

S2 W21 W22 ... W2n

... .... ... ... ...

Sk Wk1 Wk2 ... Wkn

В описании ситуации возникает 2 вопроса: 1) целесообразно ли проведение эксперимента; 2) если проведение эксперимента целесообразно, то какая стратегия будет лучшей в случае того или иного исхода эксперимента.

Чтобы ответить на первый вопрос, следует сравнить мах-но возможный средний выигрыш без проведения эксперимента со средним выигрышем, который можно получить после эксперимента.

1)мах-но возможный средний выигрыш без проведения эксперимента определяется по критерию  .

n

 = мах  аij * Qi

i j=1

2) средний выигрыш после проведения эксперимента.

Сначала определяются условные мах-ые средние выигрыши при каждом возможном исходе эксперимента. Так, в случае появления исхода Sl, необходимо уточнить априорные (доопытные) вероятности наступления состояний природы. Апостоприорные (послеопыт.) вероятности определяются по формуле Байеса.

V jl = (Qj * Wlj)/hl (j = 1, n)

hl – полная вероятность исхода Sl по формуле полной вероятности :

n

hl =  Qi * Wlj .

j=1

Зная уточненные вероятности наступления состояний природы (V jl) игрок А для каждой своей стратегии определяет условный средний выигрыш.

_ n

а il =  а ij * V jl , (i = 1, m)

j=1

Теперь по критерию  выбирается условный мах-ый средний выигрыш при исходе эксперимента Sl .

_

 l = мах а il .

i

Соответствующая стратегия является условно оптимальной стратегией для l-того исхода эксперимента.

Все эти расчеты выполняются для каждого из к исходов эксперимента.

Условно мах-ный средний выигрыш – величина случайная. Вероятность появления его различных значений совпадает с вероятностями появления исходов эксперимента S1, S2, …, Sк. Средний выигрыш при проведении эксперимента рассчитывается по формуле:

_ к

а =   l * hl .

l=1

Очевидно, что проведение эксперимента целесообразно, если увеличение среднего выигрыша за счет выполнения эксперимента превышает затраты на эксперимент: _

а -   С .

Если единичный неидеальный эксперимент целесообразен, то необходимо сформулировать «решающие правила», указывающие, какую из стратегий следует выбрать игроку А при каждом возможном исходе эксперимента. Рекомендуется использовать соответ. условно оптимальные стратегии.