Теорема о необходимых условиях экстремума

Пусть функция f(x) имеет в точке x^* экстремум, тогда все ее частные производныеые первого порядка в этой точке равны 0, т.е. x^*является стационарной точкой:

f(x^*)/x_i = f ’x_i = 0,

Это соотношение эквивалентно f(x^*)=0

Теорема о достаточных условиях экстремума.

Пусть функция f(x) имеет непрерывные производные 2-го порядка в стационарной точке x^*, тогда точка x^* является точкой мах, если матрица Гессе Н(x^*) функции f(x) в т. x^* отрицательно определена, и точкой min,если матрица Н(x^*) положительно определена.

Теорема об условиях определённости матрицы.

Справедливы утверждения:

1)квадратная матрица положительно определена <=> когда все ее главные (угловые) миноры положительны

2) квадратная матрица отрицательно определена <=> когда знак любого ее главного (углового) минора каждого порядка совпадает со знаком (-1)^К

В основе метода лежат сформулированные выше теоремы о необходимых и достаточных условиях существования безусловного экстремума. Метод применим только для "достаточно гладких" (дважды непрерывно дифференцируемых функций). Метод состоит в выполнении следующих шагов.

Шаг 1. Решить уравнение (или систему уравнений ) и найти множество ее решений – стационарных точек (подозрительных на экстремум).

Шаг 2. Установить, пользуясь теоремой об условиях определенности матрицы, тип определенности матрицы Гессе в каждой стационарной точке функции , и на основе этого сделать вывод о существовании и типе экстремума

БИЛЕТ 24

1. 70метод минимального элемента поиска опорного плана ТЗ

Суть метода состоит в том, что сначала задача по опр. Плана решается послед-тью шагов, по каждому из которых в табл. Условий ТЗ запол. 1 клетку причем таким образом, что либо полностью удовлетворять потребности 1 из потребителей, либо вывести все запасы одного из поставщиков. Далее считаются недоступными клетки строки, на пересечении которых нах. заполняемая клетка. При этом на каждом шаге заполняется та клетка из доступных, которая соответствует мин.тарифам

2. Схема реализации обобщенного метода множителей Лагранжа.

Описание м-да:

Ш 1 Параметр k(число учитываемых ограничений задачи) полагается равным нулю, исходная задача реш-ся без учета огр-ий. Если получ-е решение удовл-ет всем огр-ям исходной задачи, то она запоминается. Параметр k увеличивается на единицу: k:k+1.

Ш 2 активиз-ся(преобр-ся в равенство) любые к-огран-ий исходной задачи. Решается задача поиска экстремума целевой ф-ии, при усл-ии к-активных ограничений-равенств. Если полученное решение этой задачи удовл-ет всем огр-ям исходной, то получ-ся т. экстремума, явл-ся одним из допустимых решений исходной задачи; она запомин-ся, после чего актив-ся другие к-огран-ий исходной задачи и шаг 2 повтор-ся пока не будут рассм-ны и решены все задач связ-х с к-активными ограничениями-равенствами.

Ш 3 если к=m, вычисления заканчиваются. Все запомненные на предыдущих шагах реш-ия явл-ся допуст-ми реш-ми исходной задачи. Иначе след-ет положить: к=к+1 и перейти на шаг2.

Ш 4 все запомнен-е усл-ые локальные экст-мы сравнив-ся м/у собой по значению целевой ф-ии. Наилучший среди всех таких экстр-в явл-ся глобальным усл-ым экстремумом и оптимальным решением исходной задачи.

БИЛЕТ 25

1. Теорема об условиях устойчивости прямых оценок. Условием устойчивости прямых оценок является условие

(15.7)

где вектор приращения коэффициентов при базисных переменных оптимального плана прямой задачи.

Теорема об условиях устойчивости двойственных оценок. Условием устойчивости двойственных оценок является условие

(15.5)

где вектор приращения правой части ограничений заданных в (15.2).

2. Понятие системы линейных неравенств. Графический метод решения системы линейных неравенств.

Выражение вида

f(x)>=(<=) const, где f(x) явл линейной функцией, назыв линейным неравенством

системой линейных неравенств назыв совокупность линейных неравенств:

f1(x)>=(<=) const1

f2(x)>=(<=) const2

………………..

fm(x)>=(<=) constm

Множество точек xRⁿ, удовлетворяющих этой системе, наз решением системы линейных неравенств.

В случае малой размерности (когда n  3) для системы лин нер-в можно рименять графический метод ее решения.

В основе метода лежат теоремы о разделяющей гиперплоскости и о выпуклости полупространства.

Суть:

1) для каждого i-ого неравенства с_i^тх _i строится графическим образом плоскость (n=3) или прямая (n=2), получаемая заменой знака неравенства на знак равенства. Такая плоскость (прямая) наз критической. Она разделяет все пространство на область «хороших», удовлетворяющих неравенству точек и «плохих».