1) Перестановка любых 2ух уравнений местами

2) удаление из СЛУ «пустых» уравнений вида 0х₁+0х₂+…0х_n=0

3) Умножение обоих частей в каком-либо ур-ии слу на число 0

4) Прибавление к какому-либо из уравнению слу др уравнения этой же слу, умноженного на произвольное число 0.

Теорема Кронекера-Капелли

Данная теорема отвечает на вопрос о существовании решений СЛУ.

Теорема Кронекера-Капелли СЛУ Ах=b совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы-системы А равен рангу расширенной матрицы-системы: r(A) =r(Ab)

Расширенная матрица-система (Ab), получается приписыванием к матрице А справа вектор-столбца b правой части СЛУ.

Следствие: Однородная СЛУ Ах=0 имеет не нулевое решение, тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа её неизвестных

БИЛЕТ 40

1. Постановка задачи математического программирования (ЗМП). Разновидности ЗМП

ЗМП или оптимизационной задачей наз задача вида: f(x)max(min) xДRⁿ, где f(x) – целевая функция, ДRⁿ – область допустимых значений

Решить ЗМП - либо найти все такие x^*Д : f(x^*)f(x) (f(x^*)f(x)) xД, либо установить неразрешимость поставленной задачи

xД наз допустимым решением (планом ЗМП)

x^* уд-щее условию x^*Д : f(x^*)f(x) (f(x^*)f(x)) наз оптимальным решением (планом) задачи.

В качестве целевой функции f(x) могут выступать функции, выражающие прибыль, объём производства, затраты, потери и т.д. Область допустимых решений Д как правило задается системой уравнений и неравенств.

Разновидности ЗМП:

1) В случае, когда область ограничений совпадает с областью определения целевой функции имеет ЗМП без ограничений: f(x)max(min) x Rⁿ

2) Если область ограничений задается системой уравнений, то такая ЗМП наз ЗМП канонической формы (ЗМП с ограничением равенства): f(x)max(min)

g₁(x)=b₁

g₂(x)=b₂

………

g_m(x)=b_m

3) Если область ограничений задается системой неравенств, то такая ЗМП наз ЗМП с ограничениями-неравенствами: f(x)max(min)

g₁(x) ≤ b₁

g₂(x) ≤ b₂

………..

g_m(x) ≤ b_m

4) ЗМП со смешанными ограничениями имеет вид: f(x)max(min)

g₁(x)=b₁

……….

g_m(x)=b_m

h₁(x) ≤ ₁

………..

h_k(x) ≤ _k

Теорема Вайерштрасса:

Пусть область ограничений Д, задачи f(x)→max(min) является непустым и компактным множ-м, тогда непрерывная целевая функция f(x), заданная на этом множестве достигает глобального max-ма (min) на внутренней или граничной точки области Д.

2. Балансовая модель Леонтьева

Применяется для решения различных задач, связанных с экономикой нескольких отраслей.

Необходимыми условиями для применения модели являются: 1) неизменность структурных связей отраслей экономики; 2) отсутствие революционных изменений в технологиях пр-ва отраслей.

Рассмотрим экономику из n взаимосвязанных отраслей. Обозначим через x_i (i=1,n) объем валового выпуска i-ой отрасли за некоторый период в условных единицах. Через z_ij обозначим количество продукции i-ой отрасли, которой за тот же период было потреблено j-ой отраслью.

Если экономика находится в стабильном состоянии, то должно выполняться уравнение баланса:

x₁=z₁₁+z₁₂+...+z_1n+y₁

x₂=z₂₁+z₂₂+...+z_2n+y₂

.................................. (1)

x_n=z_n1+z_n2+...+z_nn+y_n

Леонтьев предположил, что величины z_ij взаимных потреблений отраслей явл-ся линейными функциями пр-ва и опис-ся как:

(2) z_ij=s_ijx_j, где a_ij – структурный коэффициент, содержательно означающий количество продукции i-ой отрасли (в усл ед), кот необходимо затратить для пр-ва единицы продукции j-ой отрасли. Матрица А = (a_ij), эл=ты кот – структурные коэф-ты наз-ся структурной матрицей.

Структурная матрица и определяет структуру взаимодействия всех отраслей эк-ки.

Подстановка (2) в (1) дает:

x₁=s₁₁x₁+s₁₂x₂+...+s_1nx_n+y₁

(3) x₂=s₂₁x₁+s₂₂x₂+...+s_2nx_n+y₂

x_n=s_n1x₁+s_n2x₂+...+s_nnx_n+y_n

Пусть:

x₁

х= … - вектор валового выпуска отраслей

x_n

y₁

у= ... – вектор конечного продукта отраслей

y_n

тогда систему (3) можно записать в компактом виде х=Sх+у – балансовая модель Леонтьева. C помощью этой модели можно решать множество прикладных задач экономики.

БИЛЕТ 41

1. Любая точка Х хар-ся в плоскости двумя числами (х₁,х₂) наз координатами этой точки.

Направленный отрезок из начала координат в точку Х – радиус-вектор этой точки. Его длина или модуль есть число х=х₁²+х₂² . любой направленный отрезок в плоскости, имеющий такой же модуль и направление наз вектором х.

Компоненты вектора х₁ и х₂ определяют положение точки Х на плоскости, если начало вектора х совпадает с началом координат. В подробной записи вектора отображают матрицами вектор-столбца х^т=(х₁ х₂).

Для векторов определены операции умножения их на число, сложения. При этом для двумерных векторов удобны геометрические схемы для операций сложения(умножения) на число.

Операции скалярного умножения опред-ся след образом:

<х,у> = х₁у₁ + х₂у₂

<х,у> = х^ту

Углом _xy м/у векторами 2-мерного пространства наз угол, опред-ый по формуле:

_xy = arcos (<х,у> /xy)= arcos ( x₁y₁+x₂y₂ / х₁²+х₂² * у₁²+у₂²)

Углом _xy между векторами n-мерного пространства наз угол:

_xy = arcos (<х,у> /xy) = arcos (_i=1ⁿx_iy_i / _i=1ⁿx_i²*_i=1ⁿy_i²)

2 вектора х, у  Rⁿ наз ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно 0, т.е. <х,у> = 0.