2) Пусть противоречивых уравнений нет. Тогда 1 из уравнений выбирается за разрешающее уравнение и одно из неизвестных – за разрешающее неизвестное. К этому выбору предъявляются следующие требования:

а) на предыдущих шагах выбранное уравнение не было разрешающим

б) в разрешающем уравнении коэффициент при разрешающем неизвестном должен быть отличен от 0. Этот коэффициент наз разрешающим элементом

3) Разрешающая неизвестная исключается из всех уравнений кроме разрешающего. Для этого разрешающее уравнение прибавляется к каждому из уравнений слу после умножения на подходящее число.

Преобразования заканчиваются, если ни одно из уравнений не может быть взято за разрешающее (все они перебывали в этой роли). Те неизвестные, которые в процессе преобразований были разрешающими наз базисными. Те неизвестные, которые не были разрешающими наз свободными.

Если число уравнений финальной СЛУ равно числу неизвестных, то тогда все эти неизвестные побывали в числе разрешающих и исходная СЛУ имеет единственное решение, непосредственно вытекающее из финальной СЛУ.

В случае, когда число уравнений финальной системы меньше числа неизвестных, то тогда те неизвестные, которые не были в качестве разрешающих, объявляются свободными и могут принимать любые значения.

Неизвестные, которые побывали в качестве разрешающих наз базисными. Значения базисных переменных полностью определяются свободными и непосредственно вытекают из финальной СЛУ.

Замечания:

1) Реализация метода Гаусса даёт ответ на вопрос о совместности системы. Система совместна тогда и только тогда, когда при реализации метода Гаусса не возникает противоречивых уравнений

2) В процессе преобразований Гаусса допускаются промежуточные преобразования слу.

3) В любой момент преобразования Гаусса м.Б. Остановлены. Текущая система м.Б. Рассмотрена в качестве исходной и преобразования м.Б. Возобновлены по другой схеме.

2.еорема о разрешимости ТЗ:

Задача f = Σ_i=1^mΣ_j=1ⁿ c_ijx_ij → min (1)

Σ_i=1^m x_ij = b_j , j = 1, n

Σ_j=1ⁿ x_ij = a_i , i = 1, m (2)

x_ij ≥ 0

имеет решение тогда и только тогда, когда выполнено уравнение баланса:

Σ_i=1^ma_i = Σ_j=1ⁿb_j (3)

Док-во Необходимость Пусть X=( x_ij)m*n-некоторый оптимальный план перевозок, удовл системе огранич(2).Проссумировав верхние ограничения-равенства в(2) по j, а второй по i, получ Σ_j=1ⁿ b_j =Σ_i=1^mΣ_j=1ⁿ x_{ij =} Σ_j=1ⁿ Σ_i=1^m x_ij = Σ_i=1^m b_j, необход доказана.

Достаточность Пусть условие баланса(3) выполнено, тогда расмотр план перевозок X=( x_ij)m*n, где x_ij = a_i b_j / Σ_k=1^m a_k = a_i b_j / Σ_L=1ⁿ b_L . Такой план перевозок будет удовл огранич(2),т.к. все x_ij неотриц и кроме того Σ_i=1^m x_ij = Σi₌₁^m a_i b_j / Σ_k=1^m a_k = b_j Σi₌₁^m a_i

/ Σ_k=1^m a_k = b_j ; Σ_j=1ⁿ x_ij = Σ_j=1ⁿ a_i b_j / Σ_L=1ⁿ b_L = a_i , т.е. все условия в(2)выполнены для предложенного плана перевозок.

Следствие:

Соотношение (3) означает, что уравнения системы ограничений (2) линейно зависимы. Всего уравнений в системе (2) n+m, значит линейно независимых из них не более n+m-1.

БИЛЕТ 22

1. Алгебраическое дополнение и минор

Существует 2 принципиально различных понятия минора – минор К-ого порядка и минор элемента матрицы.

Минором k-ого порядка произвольной матрицы А наз определитель матрицы, составленной из любых k строк и k столбцов матрицы A

Главным минором К-ого порядка (угловым) матрицы A наз определитель матрицы составленный из k 1ых строк и k 1ых столбцов матрицы A

Минором М_ij элемента а_ij матрицы А наз определитель матрицы А, полученный вычёркиванием j-ого столбца i-ой строки, содержащих эл-т a_ij. (Он существует только для квадратных матриц).

Рассмотрим определитель матрицы А │A│‌‌=∑_i1=1ⁿ∑_i2=1ⁿ...∑_in=1 ⁿ = a_1i1*a_2i2*….*a_nin*(-1)^{I (i1, i2, … , in)} (i₁≠i₂≠…. ≠i_n). Выберем все слагаемые включающие элемент а_kl и вынесем этот элемент за скобку, выражение стоящее в скобках наз алгебраическим дополнением элемента а_kl матрицы А и обозначается А_kl

Теорема (о связи алгебраического дополнения и минора)

Минор М_ij и алгебраическое дополнение Аij эл-та а_ij связаны следующим соотношением:

А_ij=(-1)^i+jM_ij

Т.о. алгебраическое дополнение либо совпадает с минором М_ij либо равен – M_ij в зависимости от того является ли сумма i+j чётным числом или нечётным

2. . Метод С.З. угла поиска опорного плана ТЗ

Суть метода состоит в том, что сначала задача по опр. Плана решается послед-тью шагов, по каждому из которых в табл. Условий ТЗ запол. 1 клетку причем таким образом, что либо полностью удовлетворять потребности 1 из потребителей, либо вывести все запасы одного из поставщиков. Далее считаются недоступными клетки столбца. При этом на каждом шаге заполняется левая верхняя клетка из числа доступных.

БИЛЕТ 23

1. Балансовая модель Леонтьева

Применяется для решения различных задач, связанных с экономикой нескольких отраслей.

Необходимыми условиями для применения модели являются: 1) неизменность структурных связей отраслей экономики; 2) отсутствие революционных изменений в технологиях пр-ва отраслей.

Рассмотрим экономику из n взаимосвязанных отраслей. Обозначим через x_i (i=1,n) объем валового выпуска i-ой отрасли за некоторый период в условных единицах. Через z_ij обозначим количество продукции i-ой отрасли, которой за тот же период было потреблено j-ой отраслью.

Если экономика находится в стабильном состоянии, то должно выполняться уравнение баланса:

x₁=z₁₁+z₁₂+...+z_1n+y₁

x₂=z₂₁+z₂₂+...+z_2n+y₂

.................................. (1)

x_n=z_n1+z_n2+...+z_nn+y_n

Леонтьев предположил, что величины z_ij взаимных потреблений отраслей явл-ся линейными функциями пр-ва и опис-ся как:

(2) z_ij=s_ijx_j, где a_ij – структурный коэффициент, содержательно означающий количество продукции i-ой отрасли (в усл ед), кот необходимо затратить для пр-ва единицы продукции j-ой отрасли. Матрица А = (a_ij), эл=ты кот – структурные коэф-ты наз-ся структурной матрицей.

Структурная матрица и определяет структуру взаимодействия всех отраслей эк-ки.

Подстановка (2) в (1) дает:

x₁=s₁₁x₁+s₁₂x₂+...+s_1nx_n+y₁

(3) x₂=s₂₁x₁+s₂₂x₂+...+s_2nx_n+y₂

x_n=s_n1x₁+s_n2x₂+...+s_nnx_n+y_n

Пусть:

x₁

х= … - вектор валового выпуска отраслей

x_n

y₁

у= ... – вектор конечного продукта отраслей

y_n

тогда систему (3) можно записать в компактом виде х=Sх+у – балансовая модель Леонтьева. C помощью этой модели можно решать множество прикладных задач экономики.

2. Теорема о необходимых условиях экстремума. Теорема о достаточных условиях экстремума. Теорема об условиях определенности матрицы (Критерий Сильвестра)