Теорема о производной по направлению

Производная функции f(x) в точке z по направлению вектора U м.б. найдена по формуле:

f(z)/U=^Tf(z)*U =_i=1ⁿf’x_i(z)*U_i

2. Теорема о необходимых условиях экстремума. Теорема о достаточных условиях экстремума. Теорема об условиях определенности матрицы (Критерий Сильвестра)

Теорема о необходимых условиях экстремума

Пусть функция f(x) имеет в точке x^* экстремум, тогда все ее частные производныеые первого порядка в этой точке равны 0, т.е. x^*является стационарной точкой:

f(x^*)/x_i = f ’x_i = 0,

Это соотношение эквивалентно f(x^*)=0

Теорема о достаточных условиях экстремума.

Пусть функция f(x) имеет непрерывные производные 2-го порядка в стационарной точке x^*, тогда точка x^* является точкой мах, если матрица Гессе Н(x^*) функции f(x) в т. x^* отрицательно определена, и точкой min,если матрица Н(x^*) положительно определена.

Теорема об условиях определённости матрицы.

Справедливы утверждения:

1)квадратная матрица положительно определена <=> когда все ее главные (угловые) миноры положительны

2) квадратная матрица отрицательно определена <=> когда знак любого ее главного (углового) минора каждого порядка совпадает со знаком (-1)^К

В основе метода лежат сформулированные выше теоремы о необходимых и достаточных условиях существования безусловного экстремума. Метод применим только для "достаточно гладких" (дважды непрерывно дифференцируемых функций). Метод состоит в выполнении следующих шагов.

Шаг 1. Решить уравнение (или систему уравнений ) и найти множество ее решений – стационарных точек (подозрительных на экстремум).

Шаг 2. Установить, пользуясь теоремой об условиях определенности матрицы, тип определенности матрицы Гессе в каждой стационарной точке функции , и на основе этого сделать вывод о существовании и типе экстремума

БИЛЕТ 20

1 Теорема о представлении оптимального плана двойственной ЗЛП. Пусть прямая ЗЛП имеет оптимальный план . Тогда оптимальный план двойственной ЗЛП определяется по формуле

(14.15)

где та же матрица, что и в (14.12), а вектор, составленный из коэффициентов при базисных переменных в целевой функции прямой ЗЛП.

Доказательство. В соответствии с 1-й теоремой двойственности где и план являются оптимальными планами прямой и двойственной ЗЛП соответственно. Имеем:

Таким образом, откуда что и требовалось доказать.

2. Теорема о разделяющей гиперплоскости. Теорема о выпуклости полупространства. Понятие выпуклого многогранника.

Теорема о разделяющей гиперплоскости

Любая гиперплоскость разделяет все пр-во Rⁿ на 2 непересекающихся множества p₁ и p₂, наз полупространствами: p₁={xRⁿ:c^Tx}, p₂={xRⁿ:c^Tx>}

Теорема о выпуклости полупространства

Полупространство явл выпуклым множеством.

По теореме о пересечении выпуклых множеств пересечения конечного числа полупространств явл выпуклым множеством и наз выпуклым многогранником

БИЛЕТ 21

1. Метод Гаусса решения СЛУ

Основан на том факте, что элементарные преобразования СЛУ дают эквивалентные системы.

Метод Гаусса состоит в последовательной реализации шагов, на каждом из кот производятся следующие действия:

1) Из системы, полученной после предыдущих шагов, удаляются все пустые уравнения вида: 0х₁+0х₂+…0х_n=0

если в оставшейся системе имеется хотя бы одно противоречивое уравнение вида

0х₁+0х₂+…0х_n=b0 то исходная СЛУ несовместна, т.е. не имеет решений.