2) Система s линейно-независима

2) Любой вектор yRn м.Б. Представлен в виде линейной комбинации векторов системы s

Система векторов {e₁,e₂,...e_n}, где:

e₁^T=(1,0...0); e₂^T=(0,1,...0); ...............; e_n-1^T=(0,0,...0,1,0); e_n^T=(0,0,...0,1) наз каноническим базисом n-мерного пространства

Отталкиваясь от плоскости введём понятие отрезка в n-мерном пространстве.

Любая точка P на отрезке XY может быть представлена соответствующим радиус-вектором,

Z_p=x+(y-x), где [0,1]. Эта формула наз формулой отрезка и м.б. переписана в след виде:

z_p=(1-)x+y, где [0,1]

Эти формулы без всяких изменений переносятся на n-мерные пространство.

2. Экономическая интерпретация двойственных оценок

Согласно 1-й теореме двойственности значения целевой ф-ции задач двойств. пары равны м/с на оптимальных планах

Σ_j=1ⁿc_jx*_j = f(x*) = g(y*) = Σ_i=1^mb_iy*_i

Пусть целевая ф-ция f(x) в прямой задаче выражает прибыль ($), а b_i – запасы расходуемых рес-сов i-го вида, тогда y*_i должно выражаться в $ на единицу ресурса, выражая его цену. Поэтому двойственные оценки иногда называют «теневыми ценами». Они могут быть использованы для определения приоритета ресурсов в соотв. с их вкладом в величину целевой ф-ции. Они показывают, насколько изменяется max прибыль при изменении запаса соотв. ресурса на единицу. Для любых неоптим. планов x и y задачи двойтсв. пары справедливо:

f(x) < g(y)

В экон. интерпретации это означает: прибыль < общей ценности ресурсов

БИЛЕТ 32

1. Теорема об условиях устойчивости прямых оценок

Условием устойчивости прямых оценок является условие (C^T_б+∆∙ C^T_б)∙ Р ^-1≥0

∆∙ C^T_б – вектор приращения коэф при базисных переменных оптимального плана прямой задачи.

2. Сведение открытой ТЗ на недостаток к закрытой.

Введём в рассмотрение мнимого поставщика A_m+1 с мнимыми запасами равными:

a_m+1 = Σ_j=1ⁿb_j – Σ_i=1^ma_i

Грузы кт реально недопоставляются потребителям, будем считать поставленными по тарифам равным штрафным издержкам, т.е. c_{m+1, j} = r_j , j = 1, n

Тогда задача сводится к закрытой ТЗ и принимает вид

f = Σ_i=1^m+1 Σ_j=1ⁿ c_ijx_ij → min

Σ_i=1^m+1 x_ij = b_j , j = 1, n

Σ_j=1ⁿ x_ij = a_i , i = 1, m+1

x_ij ≥ 0

БИЛЕТ 33

1. Понятие ограниченного множества. Понятие эпсилон-окрестности

Рассмотрим точку xRⁿ назовём -окрестностью O_(x) этой точки множество точек n-мерного пространства отстоящих от x не далее чем на .

Точка zДRⁿ наз предельной точкой множества Д, если существует последовательность, принадлежащих x_nД точек, сходящихся в z. Т.е. для _x_n-z<lim_nx_n=z (10)

Множество ДRⁿ наз замкнутым множеством, если оно содержит все свои предельные точки (отрезок)

Множество ДRⁿ наз компактным множеством, если оно ограничено и замкнуто

Точка xД наз внутренней точкой множества Д если O_(x): O_(x)Д В противном случае точка наз граничной точкой множества Д

Точка z Д наз точкой условного локального max(min) функции f(x) в обл Д если O_ (z)Д :xO_(z)Д f(z)f(x)для максимума, (f(z)f(x) для минимума) (11)

Точка zД наз точкой условного глобального max(min) функции f(x) в обл Д, если соотношение (11) выполняется для _(z)

2. Балансовая модель Леонтьева

Применяется для решения различных задач, связанных с экономикой нескольких отраслей.

Необходимыми условиями для применения модели являются: 1) неизменность структурных связей отраслей экономики; 2) отсутствие революционных изменений в технологиях пр-ва отраслей.

Рассмотрим экономику из n взаимосвязанных отраслей. Обозначим через x_i (i=1,n) объем валового выпуска i-ой отрасли за некоторый период в условных единицах. Через z_ij обозначим количество продукции i-ой отрасли, которой за тот же период было потреблено j-ой отраслью.

Если экономика находится в стабильном состоянии, то должно выполняться уравнение баланса:

x₁=z₁₁+z₁₂+...+z_1n+y₁

x₂=z₂₁+z₂₂+...+z_2n+y₂

.................................. (1)

x_n=z_n1+z_n2+...+z_nn+y_n

Леонтьев предположил, что величины z_ij взаимных потреблений отраслей явл-ся линейными функциями пр-ва и опис-ся как:

(2) z_ij=s_ijx_j, где a_ij – структурный коэффициент, содержательно означающий количество продукции i-ой отрасли (в усл ед), кот необходимо затратить для пр-ва единицы продукции j-ой отрасли. Матрица А = (a_ij), эл=ты кот – структурные коэф-ты наз-ся структурной матрицей.

Структурная матрица и определяет структуру взаимодействия всех отраслей эк-ки.

Подстановка (2) в (1) дает:

x₁=s₁₁x₁+s₁₂x₂+...+s_1nx_n+y₁

(3) x₂=s₂₁x₁+s₂₂x₂+...+s_2nx_n+y₂

x_n=s_n1x₁+s_n2x₂+...+s_nnx_n+y_n

Пусть:

x₁

х= … - вектор валового выпуска отраслей

x_n

y₁

у= ... – вектор конечного продукта отраслей

y_n

тогда систему (3) можно записать в компактом виде х=Sх+у – балансовая модель Леонтьева. C помощью этой модели можно решать множество прикладных задач экономики.

БИЛЕТ 34

1. Метод потенциалов решения закрытой ТЗ. Теорема об оптимальном плане ТЗ.

В основе метода лежит теорема об оптим. плане ТЗ:

Теорема об оптим. плане ТЗ:

Если для некоторого опорного плана X = ( x_ij )mn ТЗ существуют такие наборы чисел

α_i, i = 1, m и β_j, j = 1, n, называемые потенциалами поставщиков и потребителей соответственно, для которых справедливо соотношение:

0, если x_ij > 0

z_ij = β_j – α_i – c_ij =

< =0, если x_ij = 0

то указанный опорный план является оптимальным.

Опред: Цепь – упорядоченный набор клеток таблицы условий ТЗ, в которой каждая пара соседних клеток расположена либо в одном столбце, либо в одной строке, причём никакие 3 клетки не лежат в одном столбце (строке).

Опред: Цикл – цепь, в которой последняя клетка лежит в одной строке с начальной.

Алгоритм метода потенциалов:

Шаг 1: находится опорный план заполняются n + m – 1 клеток таблицы условий ТЗ.

Шаг 2: из системы уравнений β_j – α_i = c_ij , составленных для заполненных клеток определяются потенциалы поставщиков и потребителей.

Шаг 3: для свободных клеток определяются величины z_ij = β_j – α_i – c_ij. Если среди них нет положительных, то найденный опорный план является оптим. В противном случае среди всех z_ij выбирается максимальное число. Клетку, которой соотв. это число следует заполнить.

Шаг 4: определяется цикл, одной из клеток которого является клетка, подлежащая заполнению, а все другие уже заполнены. Клеткам цикла поочерёдно приписываются знаки “+” и “-“, начиная с “+” для заполняемой клетки.

Шаг 5: в заполняемую клетку заносится наименьшее из чисел x_ij, стоящих в минусовых клетках, одновременно это число вычитается из всех минусовых и прибавляется ко всем плюсовым. Эта операция называется «сдвигом по циклу пересчёта». Переход на шаг 2.

Замечание: если при этом сдвиге имеются несколько одинаковых минимальных чисел x_ij, то освобаждается только одна из таких клеток, а остальные считают занятыми с нулевыми поставками.

Имеется m поставщиков A₁, A₂, …, A_m некоторого однородного груза с запасами a₁, a₂, …, a_m.

Имеется n потребителей B₁, B₂, …, B_n с потребностями b₁, b₂, …, b_n соответственно.

Известны так же тарифы перевозок: c_ij, i = 1, m , j = 1,n

означающие стоимость перевозок единицы груза от A_i к B_j. Требуется составит план перевозок так, чтобы:

1. Суммарная стоимость всех перевозок была бы минимальной.

2. Каждый поставщик полностью реализует свой запас.

3. Каждый потребитель полностью удовл. свои потребности.

Формальная запись задачи:

f = Σ_i=1^mΣ_j=1ⁿ c_ijx_ij → min (1)

Σ_i=1^m x_ij = b_j , j = 1, n

Σ_j=1ⁿ x_ij = a_i , i = 1, m (2)

x_ij ≥ 0

2. Любая точка Х хар-ся в плоскости двумя числами (х₁,х₂) наз координатами этой точки.

Направленный отрезок из начала координат в точку Х – радиус-вектор этой точки. Его длина или модуль есть число х=х₁²+х₂² . любой направленный отрезок в плоскости, имеющий такой же модуль и направление наз вектором х.

Компоненты вектора х₁ и х₂ определяют положение точки Х на плоскости, если начало вектора х совпадает с началом координат. В подробной записи вектора отображают матрицами вектор-столбца х^т=(х₁ х₂).

Для векторов определены операции умножения их на число, сложения. При этом для двумерных векторов удобны геометрические схемы для операций сложения(умножения) на число.

Операции скалярного умножения опред-ся след образом:

<х,у> = х₁у₁ + х₂у₂

<х,у> = х^ту

Углом _xy м/у векторами 2-мерного пространства наз угол, опред-ый по формуле:

_xy = arcos (<х,у> /xy)= arcos ( x₁y₁+x₂y₂ / х₁²+х₂² * у₁²+у₂²)

Углом _xy между векторами n-мерного пространства наз угол:

_xy = arcos (<х,у> /xy) = arcos (_i=1ⁿx_iy_i / _i=1ⁿx_i²*_i=1ⁿy_i²)

БИЛЕТ 35

1. Методы поиска ранга матрицы: метод окаймляющих миноров и метод элементарных преобразований