1. Методы поиска обратной матрицы: метод союзной матрицы и метод элементарных преобразований.

Метод союзной матрицы.

Обратная матрица методом союзной матрицы находится по формуле:

А^-1= (1/А)*А^*

Где союзной является матрица: А^*=(А_ij)^т

Суть метода:

1) поиск алгебраических дополнений всех элементов исходной матрицы А_ij=(-1)^i+jM_ij и составление из них союзной матрицы А^*.

2) находится обратная матрица А^-1 по формуле А^-1= (1/А)*А^*

Поиск обратной матрицы методом элементарных преобразований

Обоснование метода: основан на том факте, что любая невырожденная (определитель матрицы ≠ 0) матрица с помощью конечной последовательности элементарных преобразований над ее строками (столбцами) м.б. приведена к единичной матрице. Согласно теореме о представлении элементарных преобразований матрицы операциями умножения это означает, что справедливо выражение:

L_k L_k-1…L₁*A=E

Где А – исходная матрица, L₁, L₂, …, L_k – матрицы специального вида, умножение на которые реализует соответствующие элементы преобразований.

Т.к. матрица А по условию не вырожденная, то у нее есть обратная матрица А^-1.

Умножим обе части выражения справа на А^-1:

L_k L_k-1…L₁*A*А^-1=E*А^-1

L_k L_k-1…L₁*Е=А^-1

Полученное выражение означает, что те же самые элементы преобразования над единичной матрицей приводят ее к обратной.

Суть:

Шаг1. Записывается т.н. двойная матрица, получаемая приписыванием справа к исходной матрице А единичной того же размера (АЕ)

Шаг2. Над строками полученной двойной матрицы выполняются элементарные преобразования т. о, чтобы на месте исходной матрицы А получить единичную. Тогда месте единичной матрицы в двойной матрице будет сформирована искомая обратная матрица.

2. Постановка задачи нелинейного программирования (ЗНЛП) с ограничениями равенствами

Решается задача f(x)→ min (max) (1)

g₁(x)=b₁

g₂(x)=b₂ (2)

………

g_m(x)=b_m

Которая м.б. записана в виде

f(x)→min (max) (3)

g(x)=b (4) где g(x) – вектор функция ограничения исходной задачи, компонентами кот являются функции g_i(x) (i=1,m) стоящие в левой части системы ограничений (2).

В общем случае f(x) и g_i(x) являются нелинейными функциями.

Множество точек х, являющихся решением системы ограничений (2) задают область ограничений ДRⁿ задач (1)-(2) и (3)-(4).

БИЛЕТ 31

1. Понятие линейной комбинации и выпуклой линейной комбинации векторов. Понятия линейной независимости и линейной зависимости векторов. Понятие базиса и канонического базиса в Rⁿ. Понятие отрезка, соединяющего две точки в Rⁿ. Формула отрезка.

Система S={x₁,x₂...x_k} где x_iRⁿ i=1,k n-мерных векторов наз линейно-зависимой, а вектора этой системы линейно-зависимыми, если существуют числа ₁,₂,…_k R¹ среди кот есть отличные от 0, такие что: _i=1^k_ix_i=0 (1)

В противном случае система S наз линейно-независимой, а образующие её вектора линейно- независимыми векторами.

Выражение L=_i=1^k_ix_i (2) наз линейной комбинацией векторов системы S.

Если числа _i выражения (1) удовлетворяют требованию _i ≥ 0 (i=1,k) и _i=1^k_i=1, то тогда выражение (2) наз выпуклой линейной комбинацией.

Система S={x₁,x₂...x_k} наз базисом в пространстве Rⁿ, если выполняются следующие условия:

1) х_i Rⁿ