Ранг матрицы r(a) – это наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы

Ранг матрицы тесно связан с понятием линейной независимости строк (столбцов) матрицы. Рассмотрим произвольную матрицу А. Обозначим через А_j – j-ый столбец матрицы А.

Рассмотрим систему S={Ai₁, Ai₂, …, Ai_k} – набор столбцов матрицы А.

Система столбцов S матрицы А, наз линейно-зависимой, если существует набор чисел ₁₂…_k среди кот есть отличные от 0, такой, что _j=1^k_jAi_j=0

Столбцы, входящие в систему S, наз-ся линейно-зависимыми.

В случае, когда набора чисел ₁₂…_k при кот выполняется последнее соотношение не существует, то тогда система S наз линейно-независимой.

Выражение L=_j=1^k_jAi_j=₁ Ai₁ + ₂ Ai₂ + … + _k Ai_k стоящее в левой части первого выражения наз-ся линейной комбинацией столбцов системы S.

Система столбцов S матрицы А наз базисом системы всех столбцов матрицы А, если:

1) система S линейно-независима

2) любой столбец матрицы А может быть представлен в след виде линейной комбинации столбцов системы S, т.е. для каждого р=1, n

А_p = _j=1^kj_p Ai_p

Аналогично определяются понятия линейной зависимости-независимости строк матрицы, базиса в системе строк.

Любой отличный от 0 минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы наз её базисным минором

Теорема о ранге (базисном миноре)

Ранг матрицы равен максимальному числу линейно-независимых ее столбцов (строк), при этом система столбцов (строк) матрицы, содержащая базисный минор образует базис системе всех столбцов (строк) матрицы

^2.

прямая ЗЛП:		двойственная ЗЛП:
(14.1) (14.2)		(14.3) (14.4)

Нетрудно видеть, что если задачу (14.3)-(14.4) взять за прямую, то двойственной по отношению к ней будет задача (14.1)-(14.2). В связи с эти говорят, что задачи (14.1)-(14.2) и (14.3)-(14.4) образуют так называемую двойственную пару ЗЛП.

Двойственная лемма. Для любого плана задачи (14.1)-(14.2) и любого плана задачи (14.3)-(14.4) справедливо .

Доказательство. Умножим основное ограничение задачи (14.1)-(14.2) на слева:

. (14.5)

Умножим основное ограничение задачи (14.3)-(14.4) на слева:

(14.6)

Преобразуем левую часть (14.5), используя свойства операции транспонирования:

(14.7)

Из (14.7) следует, что левые части (14.5) и (14.6) равны между собой. Это означает, что что и требовалось доказать.

Следствие. Если для некоторых планов и задач двойственной пары (4.25)-(4.26) и (4.27)-(4.28) то эти планы являются оптимальными планами своих задач.

Компоненты оптимального плана двойственной ЗЛП (14.3)-(14.4) называются двойственными оценками. Двойственные оценки играют в линейном программировании ту же роль, что и множители Лагранжа в нелинейном программировании.

Компоненты оптимального плана прямой ЗЛП (14.1)-(14.2) называются прямыми оценками

БИЛЕТ 17

1. Алгебра СМ

Шаг 0 (поиск опорного плана):

Опорный план задачи f(x)=c^tx) → max;(1) {Ax=b,x>=0}(2) м б найден путем решения СЛУ Ax=b ограничений (2), мнтодо Гауса. Без ограничения общности можно считать, что базисными переменными будут первые m переменных, которые могут быть выражены через оставшиеся свободными переменными след образом:

x_i=β_i-Σ_j=m+1 α_ijx_j , i=1,m (3)

Все β_i в (3) должны быть неотрицательными, если это не так, то СЛУ перерешивается методом Гаусса относительно другого состава базисных перем., и так до тех пор пока, пока все β_i в (3) не будут неотрицат. Согласно теореме о вершине, точка x^t(1)=( β₁, β₂,…, β_m, 0,…) является вершиной, т. к. все своб. перемен. равны 0.

Шаг 1 (выражение эл-тов текущей задачи через своб. перем.):

Подставляя (3) в выражение (1) получаем:

f(x)= c^tx= Σ_i=1ⁿ c_ix_i=Σ_i=1^m c_ix_i + Σ_j=m+1ⁿ c_ix_j= Σ_i=1^m c_i(β_i- Σ_j=m+1ⁿ α_ijx_j) + Σ_j=m+1ⁿ c_ix_i= Σ_i=1^m c_{i βi} - Σ_j=m+1ⁿ Δ_jx_j (4) ,где Δ_j=Σ_i=1^m c_iα_ij – c_j (5 )

Т.о целевая ф-ия зависит лишь от свободных переменных.

f(x)= f₀ –- Σ_j=m+1ⁿ Δ_jx_j (6)

f₀= Σ_i=1^m c_i β_i=c_б^tP₀ (7)

Δ_j= c_б^tP_j – c_j (8)

где P₀^т=β₁, β₂, ..., β_m) – вектор правой части,

P_j^т=(α_1j, α_2j, …, α_mj) – j-тый столбец м-цы

с_б^т=(с₁, с₂, …, с_m) – вектор, состоящ. из коэф-тов при базисных переменных в выражении для целевой функции.

Исходная задача принимает вид: f(x)=f₀-Σ_j=m+1ⁿ Δ_jx_j → max (9)

Шаг 2 (поиск возможных переходов):

Ищем вершину, на кот. значение целев. ф-ции > чем на х(1) Возможны варианты:

а) Все Δ_j в (9) меньше 0 или равны 0. В этом случае т. Х(1) является

оптим. планом, поскольку любые изменения своб. переменных не увеличивают значение целевой ф-ции.

б) Существует хотя бы одно Δ_k<0. Тогда значение целев. ф-ции можно увеличить за счёт своб. переменной х_k, изначально равной 0.

Шаг 3 (переход к новой вершине):

Увеличим переменную х_k, оставляя все другие своб. перем. равными 0. Предел увеличения устанавливается из условия неотрицательности всех баз-х перем. , кот., как следует из (3) будут изменятся по закону: x_i = β_i - α_ikx_k

Условие неотрицательности даёт: x_i = β_i - α_ikx_k ≥ 0, (12)

Возможны варианты:

а) Все α_ik ≤ 0. В этом случае все нерав-ва (12) останутся справедл. при любых больших значениях x_k. Её можно увел. безгранично, решения нет, целевая ф-ция не ограничена сверху.

б) Одно или несколько α_ik > 0. Тогда каждая α_ik порождает границу для увеличения x_k:

x_k ≤ β_i / α_ik = γ_i (13)

Пусть этот min γ достигается при i=r, т е γ=γ_r = min(β_r / α_rk ) (14)

Увеличим x_k до предела, оставляя при этом все другие своб. переменные равными 0. По достижении верхней границы, перем x_k обнуляет базис. перем. x_r , кот. объявляется свободной, x_k объявляется базисной. Тогда точка:

х^т(2) =( β₁, …, β_r-1, 0, β_r+1, …, β_m, 0, 0, …, γ_k, 0 )

является вершиной области ограничения задачи. Далее переход на шаг ⁿ

2 Градиентом f(x) функции f(x) в точке z наз вектор, компонентами кот являются частные производные 1ого порядка функции ^Tf(x)=(f(x)/x₁, f(x)/x_2,… f(x)/x_n)

БИЛЕТ 18

1. Постановка задачи нелинейного программирования (ЗНЛП) с ограничениями равенствами

Решается задача f(x)→ min (max) (1)

g₁(x)=b₁

g₂(x)=b₂ (2)

………

g_m(x)=b_m

Которая м.б. записана в виде

f(x)→min (max) (3)

g(x)=b (4) где g(x) – вектор функция ограничения исходной задачи, компонентами кот являются функции g_i(x) (i=1,m) стоящие в левой части системы ограничений (2).

В общем случае f(x) и g_i(x) являются нелинейными функциями.

Множество точек х, являющихся решением системы ограничений (2) задают область ограничений ДRⁿ задач (1)-(2) и (3)-(4).

Сформулируем теорему, дающую достаточные условия существования решения ЗНЛП общего вида:

f(x)→ min (max) (5),

хД с Rⁿ (6)

Теорема Вейерштрасса:

Пусть область ограничений Д, задачи (5)-(6) является не пустым и компактным множеством, тогда непрерывная целевая функция f(x),заданная на этом множестве, достигает глобального условного экстремума на внутренней или граничной точке множества Д.

Данная теорема справедлива для любых ЗНЛП в том числе и для задач с ограничениями-равенствами

2. Задача выпукло-вогнутого программирования мб решена методом Куна-Таккера.

Схема реализации метода:

1. Проверяются св-ва целевой ф-ции f(x) и устан-ся в соответствии с усл-ми табл. Если рез-ты положительны (усл-я табл выполнены), то переходим на 2 шаг.

2. Проверяется является ли обл-ть ограничений D выпуклым множеством.

3. Выписывается и решается система условий Куна-Таккера. Полученное решение явл-ся оптимальным планом исходной задачи.

Подходы к реш-ю плохо обусловленных задач нелинейного програм-я.

Если усл-я f(x)max(min) и x D не выполняются то применяют данный метод, придерживаясь след схемы:

Если возможно, то обл-ть ограничений D разбивается на подмн-ва, во всех точках которых целевая ф-ция дифференцируема, после чего можно применять привычные методы. Также обл-ть D можно разбить на мн-во, в которых целевая ф-ция непрерывна, после чего применить теорему Вейерштрасса

БИЛЕТ 19

1. Понятие производной по направлению. Теорема о производной по направлению.

Пусть URⁿ,произвольный вектор единичной длины, т.е. U=1

Производной ф-ии f(x) в т. z по напр-ию вектора U наз величина

f(z)/U=lim_{t0 (t>0)} (f(z+tU)-f(z))/t

По сути f(z)/U – это скорость изменения функции f(x) в точке z по направлению вектора U