2. Разложение Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Пусть k^т = (k₁, k₂, … , k_m) – это вектор с целочисленными неотрицательными компонентами. Обозначим через [k] сумму его компонентов, т.е. [k] = k₁+ k₂+ … + k_m

Говорят, что функция φ₁(х) есть «О малое» по сравнению с φ₂(х) при х→0, если справедливо условие:

lim_x→0 (φ₁(х) / φ₂(х) ) = 0

Это соотношение означает, что φ₁(х) пренебрежительно мала по сравнению с φ₂(х) при х→0.

Расширенной записью этого является следующая: φ₁(х) = 0* (φ₂(х)). Это выражение означает, что φ₁ есть «О малое» по сравнению с φ₂.

Пусть f(x) - некоторая функция, где xRⁿ. Предположим, что эта функция дифференц-а в некоторой окрестности O_ в точке yRⁿ, причем имеет все частные производные вплоть до производных (m+1) порядка. Тогда справедлива формула Тейлора:

f(x)=_[k]=0^m 1/m! * (^[k]f(y)/x₁^k1x₂^k2…x_n^kn) * (x₁-y₁)^k1 (x₂-y₂)^k2… (x_n-y_n)^kn +0 (x-y^m) (1)

Величина 0(x-y^m) - остаточный член в форме Пеано.

Т.е. формула (1) есть разложение Тейлора функции f(x) в точке у с точностью до производных m-ого порядка с остаточным членом в форме Пеано.

В частности разложение Тейлора функции f(x) в точке y с точностью до производных 2ого порядка есть:

f(x)=f(y)+^Tf(y)(x-y)+1/2 * (x-y)^T H(y)(x-y)+0(x-y)² где H(y) – матрица Гессе ф-ии f(x) в точке y

В одномерном случае при n=1 формула Тейлора принимает вид:

f(x)=_k=0^m1/k! * f^[k](y)(x-y)^k + 0 (x-y)^m

^{БИЛЕТ 15}

^1. Общая постановка ЗЛП и формы её представления

ЗЛП называется задача матем. прогр. f(x) → max (min) (xЄDcRⁿ) (1), где

f(x)=c^tx=с1+..c_jx_j – линейная целевая функция, а D выпуклый многогранник. Формы представления:

1. ЗЛП в канонической форме (с ограничениями равенствами)

f(x) → max (min)

x≥0

Ax=b

2. ЗЛП в симметрич. форме (с ограничениями неравенствами)

f(x) → max (min)

Ax≤b

x≥0

3. ЗЛП в общей форме ( со смешан. ограничениями)

f(x) → max (min)

A₁x=b₁

A₂x≤b₂

Зам-ие : Условие неотрицательности x>=0 может быть всегда получено и не является ограничивающим.

Теорема

Канонич, симметрич и общая форма представления ЗЛП эквивалентны в том смысле , что любая исходн. ЗЛП (1) м.б. представлена в любой из перечисленных форм и её решение не зависит от форм представления.

2. Теорема о необходимых условиях экстремума. Теорема о достаточных условиях экстремума. Теорема об условиях определенности матрицы (Критерий Сильвестра)

Теорема о необходимых условиях экстремума

Пусть функция f(x) имеет в точке x^* экстремум, тогда все ее частные производныеые первого порядка в этой точке равны 0, т.е. x^*является стационарной точкой:

f(x^*)/x_i = f ’x_i = 0,

Это соотношение эквивалентно f(x^*)=0

Теорема о достаточных условиях экстремума.

Пусть функция f(x) имеет непрерывные производные 2-го порядка в стационарной точке x^*, тогда точка x^* является точкой мах, если матрица Гессе Н(x^*) функции f(x) в т. x^* отрицательно определена, и точкой min,если матрица Н(x^*) положительно определена.

Теорема об условиях определённости матрицы.

Справедливы утверждения:

1)квадратная матрица положительно определена <=> когда все ее главные (угловые) миноры положительны

2) квадратная матрица отрицательно определена <=> когда знак любого ее главного (углового) минора каждого порядка совпадает со знаком (-1)^К

В основе метода лежат сформулированные выше теоремы о необходимых и достаточных условиях существования безусловного экстремума. Метод применим только для "достаточно гладких" (дважды непрерывно дифференцируемых функций). Метод состоит в выполнении следующих шагов.

Шаг 1. Решить уравнение (или систему уравнений ) и найти множество ее решений – стационарных точек (подозрительных на экстремум).

Шаг 2. Установить, пользуясь теоремой об условиях определенности матрицы, тип определенности матрицы Гессе в каждой стационарной точке функции , и на основе этого сделать вывод о существовании и типе экстремума

^{БИЛЕТ 16}

^1. Понятие минора k-ого порядка. Ранг матрицы. Понятие базиса в системе строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге матрицы (о базисном миноре)

Минором k-ого порядка произвольной матрицы А наз определитель матрицы, составленной из любых k строк и k столбцов матрицы A