Билет 1.

1. Определители. Определение и свойства определителей

Определитель – числовая функция, заданная на множестве квадратнгых матриц.

Перестановка Р={i₁,i₂ ,...,i_n} чисел (1,2, … n) – это расположение целых натуральных чисел в произвольном порядке.

Говорят, что в перестановке Р эл-ты i_k,i_l образуют инверсию (непорядок), если выполняется условие (i_k-i_l)(k-l)<0

Определителем │A│ квадратной матрицы A_n*n наз алгебраическая сумма n! слагаемых каждое из которых есть произведение n элементов матрицы А взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем эти слагаемые берутся со знаком +, если число инверсий в перестановке индексов столбцов элементов этого произведения четно, и со знаком – в противном случае.

│A│‌‌=∑_i1=1ⁿ∑_i2=1ⁿ...∑_in=1 ⁿ = a_1i1*a_2i2*….*a_nin*(-1)^{I (i1, i2, … , in)} (i₁≠i₂≠…. ≠i_n)

Из определения следует, что определитель матрицы первого порядка будет равен │А_1*1│=а₁₁

Определители 2 и 3 порядка вычисляют по следующим из формулы схемам:

Определитель матрицы 2 порядка │А_2*2│=а₁₁*а₂₂-а₁₂*а₂₁ (Разность м/у элементами главной и побочной диагонали)

Определитель матрицы 3 его порядка │А_3*3│=а₁₁*а₂₂*а₃₃+а₁₂*а₂₃*а₃₁+а₁₃*а₂₁*а₃₂-а₁₁*а₂₃*а₃₂-а₁₂*а₂₁*а₃₂-а₁₃*а₂₂*а₃₁ (правило Сарррюса)

Свойства определителей:

1 При транспонировании матрицы её определитель не меняется │А^т│=│А│

2 Если в матрице есть нулевая строка или столбец, то её определитель равен 0

3 При перестановке 2 строк или столбцов матрицы её определитель меняет свой знак на противоположный

4 Если какую-либо строку или столбец матрицы умножить на число λ, то определитель этой матрицы будет равен λ*│А│

5 определитель матрицы не изменится, если к любой его строке или столбцу прибавить другую строку или столбец, умноженную на какое-либо число

6 Если матрица имеет 2 одинаковые строки (столбца), то определитель =0

2. Назначение и Схема реализации обобщенного метода множителей Лагранжа

Идея этого м-да сост-т в том,что если точка безусловного экстремума целевой ф-ии не удовл-ет всем ограничениям задачи, то тогда решение задачи с ограничениями должно достигаться (если оно есть) в граничной точке области ограничений =>одно или неск-ко огр-ий в gi(x)  0, должны вып-ся как точные равенства (быть активными).

Реализация метода состоит в выполнении следующих шагов.

Шаг 1. Параметр k (число учитываемых ограничений задачи) полагается равным нулю. Исходная задача решается без учета ограничений. Если найденная экстремальная точка удовлетворяет всем ограничениям исходной задачи, то она запоминается. Параметр k увеличивается на единицу: . Переход на шаг 2.

Шаг 2. Формируется система из k ограничений-равенств для текущей задачи: произвольные k ограничений-неравенств исходной задачи делаются «активными» посредством замены знака неравенства на знак равенства и включаются в формируемую систему ограничений. Переход на шаг 3.

Шаг 3. Полученная на предыдущем шаге текущая задача с исходной целевой функцией и системой «активных» ограничений-равенств решается каким-либо подходящим методом (например, обычным методом множителей Лагранжа). Если найденная экстремальная точка удовлетворяет ограничениям исходной задачи, то она запоминается. Переход на шаг 4.

Шаг 4. а) Если (число активных ограничений меньше числа ограничений исходной задачи), то формируется такая система из k активных ограничений, которая еще не разу не присутствовала в решаемых перед этим задачах, после чего производится переход на шаг 3. В том случае, когда все возможные наборы из k активных ограничений перед этим рассматрены, а соответствующие задачи решены, параметр k увеличивается на единицу: . Переход на шаг 2.

б) Если , то вычисления заканчиваются. В качестве решения исходной задачи берется та из запомненных на предыдущих шагах экстремальных точек, которая дает наибольшее (наименьшее) значение целевой функции. При отсутствии запомненных экстремальных точек делается вывод об отсутствии решения исходной ЗНЛП.

Замечание 10.1. Возможности применения метода для решения практических задач без применения компьютера ограничены, поскольку для его реализации требуется вместо одной исходной задачи решать большое число задач с ограничениями-равенствами. Например, если число ограничений в (10.2) , а число активных ограничений , то тогда на шаге 2 надо будет решить

задач с тремя ограничениями-равенствами.

БИЛЕТ 2

1. Матрицы. Виды матриц

Числовой матрицей А_m*n наз прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов

Числа, определяющие матрицу наз её элементами

Специальные матрицы

Матрица, имеющая 1 строку и 1 столбец наз матрицей-скаляром

Матрица, имеющая только 1 строку наз вектор-строкой

Матрица, имеющая только 1 столбец наз вектор-столбцом. А транспонируется в вектор-строку с помощью операции транспонирования и обозн-ся А^т

Матрица, у которой число строк и столбцов совпадает называют квадратной.

Произвольная матрица, все элементы которой равны 0 наз нулевой матрицей и обозначается O

Квадратная матрица, все элементы которой равны 0, за исключением элементов главной диагонали, которые равны1 наз единичной матрицей и обозначается E.

Операции над матрицами

1) Операции сравнения.

Матрицы А и В равны (А=В), если они имеют одинак размер, а все их соответств-ие элементы равны м/у собой a_ij= b_ij (i=1,m, j=1,n)

Говорят, что матрица A больше матрицы B, если матрицы имеют одинаковый размер и при этом a_ij>b_ij (i=1,m, j=1,n)

2) Операция сложения определена для любых двух матриц, имеющих одинаковый размер. Суммой С матриц А,В наз матрица А+В элементы которой определены соотношением: c_ij=a_ij+b_ij i=1,m j=1,n

3) Умножение матриц на число любая матрица А может быть умножена на произвольное число k, как слева так и справа в результате получается матрица С=kА=Аk, элементы которой определяются соотношением c_ij=ka_ij (i=1,m j=1,n)

Свойства:

А+В=В+А

(А+В)+С=А+(В+С) кА=Ак

к(А+В)=кА+кВ

(к+р)А=кА+рА

(кр)А=к(рА)

4) Операция вычитания определена для матриц одинакового размера. Вычитание матрицы В из Матрицы А: А-В=А+(-1)В

5) Операция произведения матриц. Произведение матриц С=А*В определено тогда и только тогда, когда количество столбцов левого сомножителя равно числу строк правого сомножителя, в результате получаем матрицу С=А*В, которая имеет столько строк, сколько левый сомножитель и столько столбцов, сколько правый сомножитель. Элементы произведения матриц определяются по формуле: с_ij=∑ a_ik*b_kj, (к от 1 до р)

Свойства

(А+В)С=АС+ВС

А(В+С)=АВ+АС

А(ВС)=(АВ)С

к(ВС)=(кВ)С

АО=ОА=О

АЕ=ЕА=А

Матрица для которой А*В=В*А наз коммутативным или перестановочными

6) Операция возведения матрицы в степень определена для квадратных матриц. Пусть k- любое целое неотриц число. k-ой степенью А^k матрицы А наз матрица, опред-ая след-им образом:

E, если k=0

A^k=

A^k-1A, k>0

Свойства:

А^kA^p=A^k+p

(А^k)^p=A^kp

7) Операция транспонирования Пусть А_mxn произвольная матрица. Матрица А^т =(аji)nm, строки которой состоят из элементов столбцов матрицы А, а столбцы – из элементов строк матрицы А, назыв транспонированной матрицей А

Свойства:

(А+В)^т = А^т+В^т

(А*В)^т = В^т*А^т

(А^т)^т = А

В специальный класс операций над матрицами выделяются следующие операции, называемые элементарными преобразованиями матриц:

1) умножение строки (столбца) матрицы на число ≠ 0

2)прибавление к элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой её строки (столбца), умноженных на произвольное число

3) перестановка строк (столбцов) матриц местами.

!!! Любое элементарное преобразование матрицы может быть осуществлено последовательностью операций произведения этой матрицы на матрицы специального вида.

Теорема о представлении элементарных преобразований матриц операциями их умножения.

Справедливы следующие утверждения:

1) умножение i-ой строки матрицы А_mxn на число  эквивалентно операции умножения L*A, где L – это квадратная матрица, где число  находится в iой строке и iом столбце, все остальные элементы как в единичной матрице

(i)

100….

01000

Lmn ……. (i)

…….….

…………1 n*n

2) Прибавление к i-ой строке матрицы А_mxn ее j-ой строки, умноженной на число , эквивалентно операции умножения L*A, где L это квадратная матрица, где число  находится в iой строке и jом столбце, все остальные элементы как в единичной матрице –

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

L_(i)=0 0 1… 0 0

0 0 0 0  0

0 0 0 0 0 1

3) Перестановка строк матрицы А местами м.б. осуществлена конечной последовательностью умножений слева на эту матрицу матриц вида 1 и 2.

2. Понятие градиента функции. Теорема о градиенте.

Градиентом f(x) функции f(x) в точке y называется векторf(y), компоненты которого равны частным производным 1-ого порядка данной функции в точке y: ^Tf(y)=(f(y)/x₁; f(y)/x_2;… f(y)/x_n).

Теорема о градиенте:

Градиент f(y)ф-ии f(x) указывает напр-е наискорейшего роста ф-ии f(x) в точке y. При этом максимальная скорость роста равна модулю градиента в этой точке:

Max f(y)/u=f(y)(под max написать: u Rⁿ : u=1.

Доказательство:

Пусть  - угол между векторами f(y) и u. Т.к. скалярное произведение(f(y),u) этих векторов может быть найдено по формуле

(f(y),u) =f(y)*u*cos,

а u- единичный вектор, тогда:

f(y)/u=f(y)cos  .

Из этого равенства следует, что производная по направлению принимает наибольшее значение при cos  =1, т.е. когда векторы f(y) и u имеют одинаковое направление. ЧТД

БИЛЕТ 3

1. Понятия частной производной функции, стационарной точки функции, градиента и матрицы Гессе.

Частной производной f’x_j(z) = df(z)/dx_j первого порядка функции f(x) в точке z по переменной x_j наз величина: f’x_j(z) = lim_0 (f(z₁,z₂,…, z_j-1, z_j+j, z_j+1,…z_n)-f(z))/j \

Т.о. частная производная функции f(x) по переменной x_j определяется точно так же как обычная производная по переменной x_j при условии, что все другие переменные при этом являются const.

Говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке zRⁿ, если у неё в этой точке существуют все частные производные 1ого порядка по всем аргументам.

Говорят, что функция f(x) непрерывно дифференцируема в точке zRⁿ, если все ее частные производные 1ого порядка непрерывны.

Точка zRⁿ наз стационарной точкой функции f(x), если все частные производные 1ого порядка равны 0, т.е. f’x_j(z) = 0.

Частной производной второго порядка f”x_ix_j(z) = ²f(z)/x_ix_j функции f(x) в точке z наз частная производная первого порядка от частной производной первого порядка.

Квадратная матрица H_nxn=(h_ij)_nxn наз матрицей Гессе функции f(x) в точке z, если ее элементы определяются: h_ij= f”x_ix_j(z).

Выражение G (H, x) = x^T Hx = ∑_i=1ⁿ∑_j=1ⁿ h_ij x_i x_j наз квадратичной формой матрицы H_nxn=(h_ij)_nxn

Градиентом f(x) функции f(x) в точке z наз вектор, компонентами кот являются частные производные 1ого порядка функции ^Tf(z)=(f’x₁(z), f’x₂(z)_,… , f’x_n(z))

2.

прямая ЗЛП:		двойственная ЗЛП:
(14.1) (14.2)		(14.3) (14.4)

Нетрудно видеть, что если задачу (14.3)-(14.4) взять за прямую, то двойственной по отношению к ней будет задача (14.1)-(14.2). В связи с эти говорят, что задачи (14.1)-(14.2) и (14.3)-(14.4) образуют так называемую двойственную пару ЗЛП.

Двойственная лемма. Для любого плана задачи (14.1)-(14.2) и любого плана задачи (14.3)-(14.4) справедливо .

Доказательство. Умножим основное ограничение задачи (14.1)-(14.2) на слева:

. (14.5)

Умножим основное ограничение задачи (14.3)-(14.4) на слева:

(14.6)

Преобразуем левую часть (14.5), используя свойства операции транспонирования:

(14.7)

Из (14.7) следует, что левые части (14.5) и (14.6) равны между собой. Это означает, что что и требовалось доказать.

Следствие. Если для некоторых планов и задач двойственной пары (4.25)-(4.26) и (4.27)-(4.28) то эти планы являются оптимальными планами своих задач.

Компоненты оптимального плана двойственной ЗЛП (14.3)-(14.4) называются двойственными оценками. Двойственные оценки играют в линейном программировании ту же роль, что и множители Лагранжа в нелинейном программировании.

Компоненты оптимального плана прямой ЗЛП (14.1)-(14.2) называются прямыми оценками

Билет 4

1 Понятие угловой точки вып. Мног ……..

Пусть DcRⁿ - выпуклый многогранник, точка xЄD назыв угловой точкой или вершиной D, если не сущ отрезка принадлежащего D, для которого т x явл-ся внутрен-й, это означает что не сущ y,zЄD : x=az +(1-a)*y, где 0<a<1. Точка x*ЄD назыв оптимальным планом ЗЛП, если она явл-ся точкой max или min целевой ф-ии котор требуется найти по усл задачи. Любая вершина области ограничений D ЗЛП f(x) → max (min) (xЄDcRⁿ), назыв опорным планом этой ЗЛП

Опор. План ЗЛП назыв. Невырожд., если он содерж.ровно n положит компонент против. Случае, когда число положит. Компонент в опор. Плане < n, опор. План назыв. Вырожд.