1. Назначение и обоснование обобщенного метода множителей Лагранжа.

Идея этого м-да сост-т в том,что если точка безусловного экстремума целевой ф-ии не удовл-ет всем ограничениям задачи, то тогда решение задачи с ограничениями должно достигаться (если оно есть) в граничной точке области ограничений =>одно или неск-ко огр-ий в gi(x)  0, должны вып-ся как точные равенства (быть активными).

2. Открытая транспортная задача на избыток

Имеется поставщиков А₁ , А₂ , … , А_m некоторого однородного груза с запасами a₁, a₂,…, a_m и потребителей этого груза B₁, B₂,… , B_n c потребностями b₁, b₂,…, b_n соответственно. Условие баланса нарушено: (суммарные запасы больше суммарных потребностей). Тарифы перевозок , означающие стоимости перевозки единицы товара от A_i к B_j, заданы. Штрафные тарифы , означающие издержки за невывоз единицы продукции поставщиков заданы. Требуется составить такой план перевозки товаров , (количество товара, предназначенного к перевозке от к ), чтобы: 1) удовлетворить все заявки потребителей; 2) суммарные (транспортные+штрафные) издержки были бы при этом минимальными.

Формальная математическая запись задачи имеет вид:

(16.8)

(16.9)

Для того чтобы свести данную задачу к закрытой ТЗ, введем в рассмотрение мнимого (воображаемого) потребителя с потребностями , равными общему избытку: Грузы, которые реально не вывозятся от поставщиков, будем считать поставляемыми по тарифам, равным издержкам из-за невывоза этих грузов, т.е., Теперь задача (16.8)-(16.9) может быть записана в виде закрытой ТЗ:

(16.10)

(16.11)

БИЛЕТ 44

1. Балансовая модель Леонтьева

Применяется для решения различных задач, связанных с экономикой нескольких отраслей.

Необходимыми условиями для применения модели являются: 1) неизменность структурных связей отраслей экономики; 2) отсутствие революционных изменений в технологиях пр-ва отраслей.

Рассмотрим экономику из n взаимосвязанных отраслей. Обозначим через x_i (i=1,n) объем валового выпуска i-ой отрасли за некоторый период в условных единицах. Через z_ij обозначим количество продукции i-ой отрасли, которой за тот же период было потреблено j-ой отраслью.

Если экономика находится в стабильном состоянии, то должно выполняться уравнение баланса:

x₁=z₁₁+z₁₂+...+z_1n+y₁

x₂=z₂₁+z₂₂+...+z_2n+y₂

.................................. (1)

x_n=z_n1+z_n2+...+z_nn+y_n

Леонтьев предположил, что величины z_ij взаимных потреблений отраслей явл-ся линейными функциями пр-ва и опис-ся как:

(2) z_ij=s_ijx_j, где a_ij – структурный коэффициент, содержательно означающий количество продукции i-ой отрасли (в усл ед), кот необходимо затратить для пр-ва единицы продукции j-ой отрасли. Матрица А = (a_ij), эл=ты кот – структурные коэф-ты наз-ся структурной матрицей.

Структурная матрица и определяет структуру взаимодействия всех отраслей эк-ки.

Подстановка (2) в (1) дает:

x₁=s₁₁x₁+s₁₂x₂+...+s_1nx_n+y₁

(3) x₂=s₂₁x₁+s₂₂x₂+...+s_2nx_n+y₂

x_n=s_n1x₁+s_n2x₂+...+s_nnx_n+y_n

Пусть:

x₁

х= … - вектор валового выпуска отраслей

x_n

y₁

у= ... – вектор конечного продукта отраслей

y_n

тогда систему (3) можно записать в компактом виде х=Sх+у – балансовая модель Леонтьева. C помощью этой модели можно решать множество прикладных задач экономики.

2. Теорема о представлении оптимального плана прямой ЗЛП. Пусть оптимальный план прямой ЗЛП (14.10)-(14.11) определяется базисными переменными (все свободные равны нулю). Тогда справедливо соотношение

(14.12)

где матрица, составленная из векторов стоящих при базисных переменных в исходной системе ограничений (14.11).

Теорема о представлении оптимального плана двойственной ЗЛП. Пусть прямая ЗЛП имеет оптимальный план . Тогда оптимальный план двойственной ЗЛП определяется по формуле

(14.15)

где та же матрица, что и в (14.12), а вектор, составленный из коэффициентов при базисных переменных в целевой функции прямой ЗЛП.

БИЛЕТ 45

1. Открытая транспортная задача на избыток

Имеется поставщиков А₁ , А₂ , … , А_m некоторого однородного груза с запасами a₁, a₂,…, a_m и потребителей этого груза B₁, B₂,… , B_n c потребностями b₁, b₂,…, b_n соответственно. Условие баланса нарушено: (суммарные запасы больше суммарных потребностей). Тарифы перевозок , означающие стоимости перевозки единицы товара от A_i к B_j, заданы. Штрафные тарифы , означающие издержки за невывоз единицы продукции поставщиков заданы. Требуется составить такой план перевозки товаров , (количество товара, предназначенного к перевозке от к ), чтобы: 1) удовлетворить все заявки потребителей; 2) суммарные (транспортные+штрафные) издержки были бы при этом минимальными.

Формальная математическая запись задачи имеет вид:

(16.8)

(16.9)

Для того чтобы свести данную задачу к закрытой ТЗ, введем в рассмотрение мнимого (воображаемого) потребителя с потребностями , равными общему избытку: Грузы, которые реально не вывозятся от поставщиков, будем считать поставляемыми по тарифам, равным издержкам из-за невывоза этих грузов, т.е., Теперь задача (16.8)-(16.9) может быть записана в виде закрытой ТЗ:

(16.10)

(16.11)

2. Производная по направлению. Теорема о производной по направлению. Теорема о градиенте.

Пусть uRⁿ- произвольный вектор единичной длины, т.е. u=1.

Производной функции f(x) в точке y по напр-ию вектора u наз-ся предел:

f(y)/u=lim_t+0f(y + tu)-f(y)/t.

По сути f(y)/u – это скорость изменения значения функции f(x) в точке y при перемещении ее аргумента в направлении вектора u.

Теорема о производной по напр-ю:

Производная ф-ии f(x) в точке по направлению вектора u находится по формуле:

f(y)/u=_j=1ⁿ(f(y)/x_j)*u_j=^Tf(y)*u. (13)