- •1. Матрицы. Виды матриц
- •Специальные матрицы
- •2. Разложение Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
- •Теорема о необходимых условиях экстремума
- •1) Перестановка любых 2ух уравнений местами
- •3) Умножение обоих частей в каком-либо ур-ии слу на число 0
- •4) Прибавление к какому-либо из уравнению слу др уравнения этой же слу, умноженного на произвольное число 0.
- •2) Если │а│0, то решение может быть найдено по формуле:
- •2 Слу наз эквивалентными или равносильными, если множества их решений совпадают.
- •Теорема об умножении определителей
- •2. Разложение Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
- •Теорема о необходимых условиях экстремума
- •Ранг матрицы r(a) – это наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы
- •Теорема о производной по направлению
- •Теорема о необходимых условиях экстремума
- •2) Пусть противоречивых уравнений нет. Тогда 1 из уравнений выбирается за разрешающее уравнение и одно из неизвестных – за разрешающее неизвестное. К этому выбору предъявляются следующие требования:
- •3) Разрешающая неизвестная исключается из всех уравнений кроме разрешающего. Для этого разрешающее уравнение прибавляется к каждому из уравнений слу после умножения на подходящее число.
- •1) Реализация метода Гаусса даёт ответ на вопрос о совместности системы. Система совместна тогда и только тогда, когда при реализации метода Гаусса не возникает противоречивых уравнений
- •2) В процессе преобразований Гаусса допускаются промежуточные преобразования слу.
- •3) В любой момент преобразования Гаусса м.Б. Остановлены. Текущая система м.Б. Рассмотрена в качестве исходной и преобразования м.Б. Возобновлены по другой схеме.
- •1. Алгебраическое дополнение и минор
- •Теорема о необходимых условиях экстремума
- •2) Проводится подстановка любой точки, не лежащей на критической прямой, в текущее неравенство, тем самым определяется область «хороших» и «плохих» точек.
- •3) После выявления «хороших» полупространств для каждого неравенства производится их пересечение.
- •2) Если │а│0, то решение может быть найдено по формуле:
- •1. Понятие множества уровня функции, касательной гиперплоскости и вектора нормали к гиперплоскости.
- •1. Методы поиска обратной матрицы: метод союзной матрицы и метод элементарных преобразований.
- •2) Система s линейно-независима
- •2) Любой вектор yRn м.Б. Представлен в виде линейной комбинации векторов системы s
- •2. Экономическая интерпретация двойственных оценок
- •Метод окаймляющих миноров
- •Метод элементарных преобразований
- •Теорема об обратной матрице
- •64 Теорема о разрешимости тз:
- •1) Перестановка любых 2ух уравнений местами
- •3) Умножение обоих частей в каком-либо ур-ии слу на число 0
- •4) Прибавление к какому-либо из уравнению слу др уравнения этой же слу, умноженного на произвольное число 0.
- •2. Двойственные злп.
- •1) Перестановка любых 2ух уравнений местами
- •3) Умножение обоих частей в каком-либо ур-ии слу на число 0
- •4) Прибавление к какому-либо из уравнению слу др уравнения этой же слу, умноженного на произвольное число 0.
- •2) Пусть противоречивых уравнений нет. Тогда 1 из уравнений выбирается за разрешающее уравнение и одно из неизвестных – за разрешающее неизвестное. К этому выбору предъявляются следующие требования:
- •3) Разрешающая неизвестная исключается из всех уравнений кроме разрешающего. Для этого разрешающее уравнение прибавляется к каждому из уравнений слу после умножения на подходящее число.
- •1. Назначение и обоснование обобщенного метода множителей Лагранжа.
- •2. Открытая транспортная задача на избыток
- •26.Понятие градиента функции. Теорема о градиенте.
- •Методы поиска обратной матрицы: метод союзной матрицы и метод элементарных преобразований.
- •1. Ранг матрицы r(a) – это наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы
- •Метод окаймляющих миноров
- •Метод элементарных преобразований
1. Ранг матрицы r(a) – это наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы
Ранг матрицы тесно связан с понятием линейной независимости строк (столбцов) матрицы.
Методы поиска ранга матрицы: метод окаймляющих миноров и метод элементарных преобразований
Метод окаймляющих миноров
Пусть некоторый минор матрицы k-ого порядка Мk0, тогда ранг этой матрицы по меньшей мере равен k, т.е. r(A) k . Рассмотрим все окаймляющие (содержащие в себе минор Мk) миноры k+1 порядка. Если все они равны 0, то значит ранг матрицы равен k, но если найдётся хотя бы один Mk+10, тогда процедура повторяется снова
Метод элементарных преобразований
Основан на том, что элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы. Метод заключается в осуществлении последовательности элементарных преобразований над строками (столбцами) исходной матрицы. В результате все элементы вне главной диагонали становятся равными нулю, за исключением первых S элементов главной диагонали. Следовательно, ранг матрицы равен S.
Св-ва ранга
1) 0≤ r(A) min {m,n}
2) r(AВ) min {r(A) r(В) }
3) r(A) = r(AT)= r(AАт)
4) r(A+В) ≤ r(A) + r(В)
5) ранг произведений некоторой матрицы А слева или справа на невырожденную матрицу подходящего размера равен рангу исходной матрицы. r(AВ)= r(СA) , │В│≠ 0, │С│≠ 0
2. Метод подстановки в решении ЗНЛП с ограничениями-равенствами
Метод применяется для решения задач вида:
f(x)max(min) (1)
xi=i(xm+1,xm+2,…xn), i=1,m (2)
Для решения задачи (1)-(2) производится подстановка выражений (2) в целевую функцию, после чего возникает задача без ограничений.
f(x)=f(1(xm+1,…xn), 2(xm+1,…xn),… m(xm+1,…xn) xm+1,xm+2,…xn)=ψ(xm+1…xn)max(min) (3)
В итоге задача поиска экстремума функции f(x) с ограничениями свелась к задаче поиска экстремума функции без ограничений. Эту задачу можно решить классическим методом и получить x*m+1, x*m+2, …, x*n
Подстановка этих значений в (2) даёт искомое значение для x1*, x2*, … , xm*
БИЛЕТ 49
1. Графический метод решения ЗЛП
Применяется для решения задач малой размерности, когда число перем.-арг. Цел. Ф-ии ≤ 3. В основе метода лежит факт, что град. ф-ции ортогонален гиперплоскости во всех точках кот. целев. ф-ция принимает одинаков. значения. Рассмотрим гиперплоскость Пβ, представляющую собой мн-во уровня β целевой ф-ии f(x)=ctx:
Пβ = {xЄRn : cтx=β}
Пусть Z-направл отрезок, соедин. т. х и у из гипер-ти Пβ. Из усл. след., что z=y-x. Рассм. скаляр. произ-ие град f(x) от целевой ф-ии f(x)= ctx=c1x1+…+cnxn, и вектора z, лежащего в гиперплоскости Пβ, имеем <градf(x),z >=град трансf(x)z=(c1,…cn)*(z1,…zn)=c1z1+….+cnzn=ctz=ct (y-x)= cty- ctx=0 (cty= ctx= β, т к x и yЄ Пβ). Поскольку скалярной произведение =0, то это означает ортоганальность Пβ и град f(x).
______________________________________________________________
Схем реализ. графич. метода:
Шаг 1: графич. способом строится обл. огр. D ЗЛП.
Шаг 2: строится направляющий вектор с = градf, как направленный отрезок соединяющий точку начала координат с точкой с.
Шаг 3: через любую точку области D проводится плоскость(прямая), ортогональная вектору с.
Шаг 4: построенная на шаге 3 плоскость перемещается в направлении вектора с параллельно самой себе до точки последнего соприкосновения перемещаемой плоскости (прямой) с областью D. Точка отрыва определяет оптимальный план задачи.
Шаг 5: Устанавливаютя точные значения компонент оптим плана для чего решантся система уравнений, определяющих те прямые в рез-те пересечения которых возникает точка оптимального плана.
2. Двойственные ЗЛП.
Каждой ЗЛП можно поставить в соответствие другую ЗЛП, кот. называется двойственной по отношению к исходной в симметричной форме:
Прямая ЗЛП: Двойственная ЗЛП:
f(x) = cтx → max(1) g(y) = bтy → min(3)
Ax ≤ b (2) Aтy ≥ c(4)
x ≥ 0 y ≥ 0
c, x Є Rn, b Є Rm b, y Є Rm, c Є Rn
Эти задачи образуют двойственную пару ЗЛП.
БИЛЕТ 50
1. Понятие вектор-функции и матрицы Якоби
Функция g(x) наз-ся m-мерной вектор-ф-ей, если она представляет собой m-мерный вектор, компоненты которого суть вещественные ф-ии ,т.е.
gT(x)=(g1(x),g2(x),…gm(x)).
М-цей Якоби Rg(x) m-мерной вектор-функции g(x) наз-ся матрица р-ра m×n, элементы rij(x) которой определяются формулами:
rij(x)=gi(x)/xj i=1,m j=1,n
2. Двойственные ЗЛП.
Каждой ЗЛП можно поставить в соответствие другую ЗЛП, кот. называется двойственной по отношению к исходной в симметричной форме:
Прямая ЗЛП: Двойственная ЗЛП:
f(x) = cтx → max(1) g(y) = bтy → min(3)
Ax ≤ b (2) Aтy ≥ c(4)
x ≥ 0 y ≥ 0
c, x Є Rn, b Є Rm b, y Є Rm, c Є Rn
Эти задачи образуют двойственную пару ЗЛП.
Теорема о представлении оптимального плана прямой ЗЛП. Пусть оптимальный план прямой ЗЛП (14.10)-(14.11) определяется базисными переменными (все свободные равны нулю). Тогда справедливо соотношение
(14.12)
где матрица, составленная из векторов стоящих при базисных переменных в исходной системе ограничений (14.11).
Теорема о представлении оптимального плана двойственной ЗЛП. Пусть прямая ЗЛП имеет оптимальный план . Тогда оптимальный план двойственной ЗЛП определяется по формуле
(14.15)
где та же матрица, что и в (14.12), а вектор, составленный из коэффициентов при базисных переменных в целевой функции прямой ЗЛП