2 Слу наз эквивалентными или равносильными, если множества их решений совпадают.

Если правая часть СЛУ равна 0 (b=0), то такая СЛУ наз однородной, иначе СЛУ наз неоднородной

2. . теор. Двойств-ти

1-я теорема двойственности:

Если одна задача двойств-ти. пары имеет решение, то и вторая тоже имеет решение, причём значения целевых ф-ций этих задач на оптим планах равны мужду собой. Если целевая ф-ция одной из задач двойствен. пары не ограничена, то множество допустимых решений второй задачи пусто, и наоборот.

2-я теорема двойственности:

План y* прямой задачи(3)(4) и план x* двойствен. задачи(1)(2) являются оптим. планами своих задач тогда и только тогда, когда выполняется соотношение:

(Σ_j=1ⁿa_ijx^*_j - b_j)y*_i = 0, i = 1, m

(Σ_i=1^ma_ijy*_i – c_j)x*_j = 0, j = 1, n

Следствие:

Если какая либо компонента оптим. плана одной из задач двойств. пары отлична от 0, то соотв. ограничение другой задачи должно выполнятся как точное равенство. Если же какое либо ограничение одной из задач выполняется как строгое неравенство, то соотв. компонента оптим. плана другой задачи этой пары равны 0.

3-я теорема двойственности

Пусть f٭=f(x٭)- значение целевой ф-ии прямой задачи на оптимальном плане x٭,тогда двойственность можно найти по соотношениям:

y*i=df٭/dbi, i=1,m

БИЛЕТ 12

1. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу). Теорема об умножении определителей.

Теорема о разложении определителя по строке (столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения

А=_i=1ⁿa_ijA_ij – по j-ому столбцу

А=_j=1ⁿa_ijA_ij – по i-ой строке

Следовательно – выражение для вычисления определителя разложением по столбцу:

А=_i=1ⁿ (-1)^i+j a_ij M_ij По строке: А=_j=1ⁿ (-1)^i+j a_ij M_ij

Теорема об умножении определителей

Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц.

АВ=А*В

2. Схема реализации метода множителей Лагранжа

Метод реализуется за 3 шага:

Шаг1. Рассматривается ф-ия Лагранжа

L(x,λ) = f(x) + λ^T(b – g(x)) = f(x) + _i=1ⁿ _j (b_i – g_i(x))

Где x^T = (x₁, x₂, …, x_n) – вектор инструментальных переменных множителей Лагранжа,

λ^T = (λ₁, λ₂, … , λ_m) – вектор множителей Лагранжа.

Шаг2. Определяются стационарные точки (х^*, λ^*) функции множителей Лагранжа. Для этого решается система уравнений, представляющая собой необходимые условия существования стационарной точки (все частные производные по аргументам функции Лагранжа равны 0)

∂L(x,λ) / ∂x_j = (∂f(x) / ∂x_j) - _i=1^m λ_i * (∂g_i(x) / ∂ x_j) = 0, j = 1, m

∂L / ∂ λ_i = b_i - g_i(x) = 0, i = 1, m

Эта система м.б. представлена в матричной форме:

f_х(x) - λ^T Rg(x) = 0

b – g(x) = 0

где Rg(x) – матрица Якоби вектор-функции g(x)

Шаг3. Определяется тип условного экстремума функции f(x) в найденных стационарных для функции Лагранжа точках. Для этого в рассмотрении вводится так называемая окаймленная матрица Гессе Q_B(x^*, y^*), имеющая блочную структуру:

Q_B(x^*, y^*) = 0_mxm Rg(x^*)

Rg^T(x^*) H(x^*, λ^*)

Где 0_mxm - нулевая матрица размера m на m (где m – число ограничений в задачах f(x)→ min (max)

g₁(x)=b₁

………

g_m(x)=b_m

Rg(x^*) – матрица Якоби

H(x^*, λ^*) = (h_ij)_mxn, где h_ij = ∂²L(x^*, λ^*) / ∂x_i ∂x_j – это матрица, эл-ты кот есть частные производные 2ого порядка функции Лагранжа по инструментальным переменным.

Тип экстремума следует из достаточных условий: точка х^* есть точка max функции f(x), если начиная с порядка 2m+1 главный и все последующие угловые миноры окаймленной матрицы Гессе образуют знакопеременный числовой ряд, причем знак первого члена этого ряда, т.е. главного минора М_2m+1 порядка 2m+1, равен совпадает со знаком (-1)^m+1. Точка х^* является точкой min функции f(x), если все главные миноры окаймленной матрицы Гессе, начиная с минора порядка 2m+1 имеют одинаковые знаки, определяемые знаком (-1)^m.

!!! Каждая стационарная точка обрабатывается отдельно.

БИЛЕТ 13

1. Понятие квадратичной формы матрицы. Понятие положительной (отрицательной) определённости матрицы

Выражение G (H, x) = x^T Hx = ∑_i=1ⁿ∑_j=1ⁿ h_ij x_i x_j наз квадратичной формой матрицы H_nxn=(h_ij)_nxn

Квадратная матрица Н наз положительно (неотрицательно) определённой, если справедливо соотношение x0 G(Н,x) >0 .

Квадратная матрица Н наз отрицательно (неположительно) определённой, если справедливо соотношение x0 G(Н,x) <0

Матрица Н наз неопределенной матрицей, если приведенное выше соотношение не выполняется.

2. 44Теорема Каратеодори:

Пусть x(1), x(2),…,x(N) – вершины выпуклого многогранника D, тогда любая т. xЄD этого многогранника может быть представлена в виде выпуклой линейной комбинации его вершин

x=Σ_j=1^N λ_jx(j), где Σ_j=1^N λ_j=1, λ_j≥0, j=1,N

Теорема о решении ЗЛП:

Пусть D есть обл. ограничений ЗЛП, тогда справедливо следующее:

1. Оптимальный план ЗЛП достигается в одной или нескольких вершинах обл огранич D.

2. Если онтимальный план достигается сразу в нескольких вершинах, то любая выпуклая линейная комбинация этих вершин так же явл-ся оптимальным планом.

Теорема о вершине:

Для того, чтобы т. x была вершиной обл. ограничений ЗЛП в канон. форме представления f(x) → max (min), x>0 Ax=b(система), необходимо и достаточно чтобы эта т. была решением СЛУ Ax=b, в кот. все свободные переменные =0, а базисные неотрицательны.

Следствие:

Число положит. компонент вершины обл. ограничений x>0 Ax=b(система) не может быть >m, где m число уравнений в системе Ax=b

БИЛЕТ 14

1. Реализация СМ требует наличия опорного плана. Его можно получить, решив методом Гаусса СЛУ-ограничений исходной задачи. В М-методе опорный план достигается путем введения нужного числа искусственных переменных.

Предназначен Для решения ЗЛП в канонической форме

F(x)=c^тx → max (1)

{Σ_j=1ⁿ x_jP_j = P₀ (2)

x≥0} При этом предполагается что среди векторов P_j в (2) нет достаточного числа еденичных, образующих базис. Предпол., что среди векторов Pj нет дост-го кол-ва един-ых, обр-щих канон. Базис.в этом случае для решения ЗЛП (1) –(2) примен. Метод иск-го базиса., суть кот. Сост. В изм-ии исх. Задачи путем введения доп. Иск-ых переем-ых, обесп-их наличие опор. Плана.

__________________________________________________________________

Схема реализации М-метода

Шаг 1: В рассмотрение вводится m «искусственных» переем. x_n+1, …, x_n+m и формулируется расширенная ЗЛП:

F(x) = Σ_i=1ⁿ c_i x_i – M Σ_j=n+1^n+m x_i → max (3)

Σ_i=1ⁿ x_i P_i + Σ_j=n+1^n+m x_iP_i = P₀ (4)

x ≥ 0

М – очень большое положит. Число, игр. роль штрафа. P_j, j = n+1, n+m – единичный вектора, образующие канонич базис.

В рез-те иск-ые пер-ые Xn+1,…,Xn+m, соотв. Векторам Pn+1,…,Pn+m, автомат. Оказ-ся базис. И опр-ют верш. Вып. Многогр. Соз-го систю огр. Расшир. Задачи.

Шаг 2: сформированная задача F(x)=c^тx → max, {Σ_j=1ⁿ x_jP_j =P₀ x≥0}решается обычным СМ и оптим. план исходной задачи, если он существ., присутствует как составная часть в оптим. плане расширенной задачи