26.Понятие градиента функции. Теорема о градиенте.

Градиентом f(x) функции f(x) в точке y называется векторf(y), компоненты которого равны частным производным 1-ого порядка данной функции в точке y: ^Tf(y)=(f(y)/x₁; f(y)/x_2;… f(y)/x_n).

Теорема о градиенте:

Градиент f(y)ф-ии f(x) указывает напр-е наискорейшего роста ф-ии f(x) в точке y. При этом максимальная скорость роста равна модулю градиента в этой точке:

Max f(y)/u=f(y)(под max написать: u Rⁿ : u=1.

БИЛЕТ 46

1. . Понятие обратной матрицы.

Пусть задана квадратная матрица А_n*n. Матрица В_n*n такая, что А*В=В*А=Е наз обратной к матрице А и обозначается А^-1

Методы поиска обратной матрицы: метод союзной матрицы и метод элементарных преобразований.

Метод союзной матрицы.

Обратная матрица методом союзной матрицы находится по формуле:

А^-1= (1/А)*А^*

Где союзной является матрица: А^*=(А_ij)^т

Суть метода:

1) поиск алгебраических дополнений всех элементов исходной матрицы А_ij=(-1)^i+jM_ij и составление из них союзной матрицы А^*.

2) находится обратная матрица А^-1 по формуле А^-1= (1/А)*А^*

Поиск обратной матрицы методом элементарных преобразований

Обоснование метода: основан на том факте, что любая невырожденная (определитель матрицы ≠ 0) матрица с помощью конечной последовательности элементарных преобразований над ее строками (столбцами) м.б. приведена к единичной матрице. Согласно теореме о представлении элементарных преобразований матрицы операциями умножения это означает, что справедливо выражение:

L_k L_k-1…L₁*A=E

Где А – исходная матрица, L₁, L₂, …, L_k – матрицы специального вида, умножение на которые реализует соответствующие элементы преобразований.

Т.к. матрица А по условию не вырожденная, то у нее есть обратная матрица А^-1.

Умножим обе части выражения справа на А^-1:

L_k L_k-1…L₁*A*А^-1=E*А^-1

L_k L_k-1…L₁*Е=А^-1

Полученное выражение означает, что те же самые элементы преобразования над единичной матрицей приводят ее к обратной.

Суть:

Шаг1. Записывается т.н. двойная матрица, получаемая приписыванием справа к исходной матрице А единичной того же размера (АЕ)

Шаг2. Над строками полученной двойной матрицы выполняются элементарные преобразования т. о, чтобы на месте исходной матрицы А получить единичную. Тогда месте единичной матрицы в двойной матрице будет сформирована искомая обратная матрица.

2. Задачей транспортного типа называется любая ЗЛП, формальная математическая запись которой аналогична формальной математической записи транспортной задачи (ТЗ).

В зависимости от того, выполняется ли условие баланса, ТЗ претерпевает различные постановки. Различают закрытую ТЗ, и два вида открытых ТЗ: на недостаток и на избыток.

Теорема о разрешимости ТЗ:

Задача f = Σ_i=1^mΣ_j=1ⁿ c_ijx_ij → min (1)

Σ_i=1^m x_ij = b_j , j = 1, n

Σ_j=1ⁿ x_ij = a_i , i = 1, m (2)

x_ij ≥ 0

имеет решение тогда и только тогда, когда выполнено уравнение баланса:

Σ_i=1^ma_i = Σ_j=1ⁿb_j (3)

Док-во Необходимость Пусть X=( x_ij)m*n-некоторый оптимальный план перевозок, удовл системе огранич(2).Проссумировав верхние ограничения-равенства в(2) по j, а второй по i, получ Σ_j=1ⁿ b_j =Σ_i=1^mΣ_j=1ⁿ x_{ij =} Σ_j=1ⁿ Σ_i=1^m x_ij = Σ_i=1^m b_j, необход доказана.

Достаточность Пусть условие баланса(3) выполнено, тогда расмотр план перевозок X=( x_ij)m*n, где x_ij = a_i b_j / Σ_k=1^m a_k = a_i b_j / Σ_L=1ⁿ b_L . Такой план перевозок будет удовл огранич(2),т.к. все x_ij неотриц и кроме того Σ_i=1^m x_ij = Σi₌₁^m a_i b_j / Σ_k=1^m a_k = b_j Σi₌₁^m a_i

/ Σ_k=1^m a_k = b_j ; Σ_j=1ⁿ x_ij = Σ_j=1ⁿ a_i b_j / Σ_L=1ⁿ b_L = a_i , т.е. все условия в(2)выполнены для предложенного плана перевозок.

Следствие:

Соотношение (3) означает, что уравнения системы ограничений (2) линейно зависимы. Всего уравнений в системе (2) n+m, значит линейно независимых из них не более n+m-1.

БИЛЕТ 47

1. Открытая ТЗ на недостаток..

Пусть в ТЗ нарушено условие баланса, т.е.

Σ_i=1^ma_i < Σ_j=1ⁿb_j

т.е. общие запасы < общих потребностей. Также заданы штрафные тарифы r_j, j = 1, n, означающие штрафы за непоставку единицы груза В j-му потребителю. Необходимо так спланировать перевозки, чтобы:

1. Суммарные транспортные и штрафные издержки были бы min.

2. Каждый поставщик реализует свой запас.

3. каждый потребитель получает товар не более, чем ему требуется.

_______________________________________________________

Сведение открытой ТЗ на недостаток к закрытой.

Введём в рассмотрение мнимого поставщика A_m+1 с мнимыми запасами равными:

a_m+1 = Σ_j=1ⁿb_j – Σ_i=1^ma_i

Грузы кт реально недопоставляются потребителям, будем считать поставленными по тарифам равным штрафным издержкам, т.е. c_{m+1, j} = r_j , j = 1, n

Тогда задача сводится к закрытой ТЗ и принимает вид

f = Σ_i=1^m+1 Σ_j=1ⁿ c_ijx_ij → min

Σ_i=1^m+1 x_ij = b_j , j = 1, n

Σ_j=1ⁿ x_ij = a_i , i = 1, m+1

x_ij ≥ 0

2. Классический метод поиска экстремума функции без ограничений (схема реализации)

Метод применяется для решения задачи f(x)→max (min) и состоит в выполнении 2 шагов.

Шаг1. Определяются все стационарные точки целевой функции f(x) для чего решается система уравнений f(x^*)/x_i = f ’x_i = 0 или уравнение f(x^*)=0.

Шаг2. В найденных стационарных точках вычисляются матрицы Гессе и устанавливаются типы определенности этих матриц. Для определения типа определенности используется Теорема об условиях определенности матриц (Критерий Сильвестра). После определения определенности матрицы Гессе устанавливается тип экстремума с помощью теоремы о достаточных условиях экстремума.

!!! Если при реализации классического метода матрица Гессе не явл ни положительно, ни отрицательно определённой в какой-либо стационарной точке то, скорее всего, экстремума в этой точке нет. НО для исчерпывающего ответа необходимо более детальное исследование f(x) в текущей стационарной точке (например, разложение Тейлора и анализ производных по всем возможным направлениям).

БИЛЕТ 48