64 Теорема о разрешимости тз:

Задача f = Σ_i=1^mΣ_j=1ⁿ c_ijx_ij → min (1)

Σ_i=1^m x_ij = b_j , j = 1, n

Σ_j=1ⁿ x_ij = a_i , i = 1, m (2)

x_ij ≥ 0

имеет решение тогда и только тогда, когда выполнено уравнение баланса:

Σ_i=1^ma_i = Σ_j=1ⁿb_j (3)

Док-во Необходимость Пусть X=( x_ij)m*n-некоторый оптимальный план перевозок, удовл системе огранич(2).Проссумировав верхние ограничения-равенства в(2) по j, а второй по i, получ Σ_j=1ⁿ b_j =Σ_i=1^mΣ_j=1ⁿ x_{ij =} Σ_j=1ⁿ Σ_i=1^m x_ij = Σ_i=1^m b_j, необход доказана.

Достаточность Пусть условие баланса(3) выполнено, тогда расмотр план перевозок X=( x_ij)m*n, где x_ij = a_i b_j / Σ_k=1^m a_k = a_i b_j / Σ_L=1ⁿ b_L . Такой план перевозок будет удовл огранич(2),т.к. все x_ij неотриц и кроме того Σ_i=1^m x_ij = Σi₌₁^m a_i b_j / Σ_k=1^m a_k = b_j Σi₌₁^m a_i

/ Σ_k=1^m a_k = b_j ; Σ_j=1ⁿ x_ij = Σ_j=1ⁿ a_i b_j / Σ_L=1ⁿ b_L = a_i , т.е. все условия в(2)выполнены для предложенного плана перевозок.

Следствие:

Соотношение (3) означает, что уравнения системы ограничений (2) линейно зависимы. Всего уравнений в системе (2) n+m, значит линейно независимых из них не более n+m-1.

БИЛЕТ 37

1. ф-ция наз-ся вогнутой (строго вогнутой), на множ-ве D, если справ-во:

(1)

ф-ия наз-ся выпуклой (строго выпуклой) на множ-ве D, ,если соотношение (1) неравенства противоположно.

Достаточность условий Куна-Таккера в задачах выпукло-вогнутого программирования. Теорема о единственности экстремума строго выпуклой (строго вогнутой) функции.

Тип оптим-ции	Целевая ф-ия	Область огр-й
Мах-ция	Вогнутая	Выпуклое множ-во
Min-ция	Выпуклая	Выпуклое множ-во

Т-ма о единственности экстремума строго выпуклой (вогнутой) ф-ии:

строго выпуклая (строго вогнутая) ф-ия на выпуклом множ-ве D Rⁿ не может иметь >1 точки глоб-го min(max).

2. Компоненты оптимального плана двойственной ЗЛП (14.3)-(14.4) называются двойственными оценками. Двойственные оценки играют в линейном программировании ту же роль, что и множители Лагранжа в нелинейном программировании.

Компоненты оптимального плана прямой ЗЛП (14.1)-(14.2) называются прямыми оценками. Экономическая интерпретация двойственных оценок

Согласно 1-й теореме двойственности значения целевой ф-ции задач двойств. пары равны м/с на оптимальных планах

Σ_j=1ⁿc_jx*_j = f(x*) = g(y*) = Σ_i=1^mb_iy*_i

Пусть целевая ф-ция f(x) в прямой задаче выражает прибыль ($), а b_i – запасы расходуемых рес-сов i-го вида, тогда y*_i должно выражаться в $ на единицу ресурса, выражая его цену. Поэтому двойственные оценки иногда называют «теневыми ценами». Они могут быть использованы для определения приоритета ресурсов в соотв. с их вкладом в величину целевой ф-ции. Они показывают, насколько изменяется max прибыль при изменении запаса соотв. ресурса на единицу. Для любых неоптим. планов x и y задачи двойтсв. пары справедливо:

f(x) < g(y)

В экон. интерпретации это означает: прибыль < общей ценности ресурсов.

БИЛЕТ 38

1. Назначение и обоснование симплекс-метода

Метод предназн. Для реш-ия ЗЛП в канон. форме f(x)=c^tx) → max; {Ax=b,x>=0}

В основе метода лежат теорема о реш-ии ЗЛП и теор. о вершине. СМ сост. В процедуре перехода от одной вершы обл. огр. к др. на кот. знач цел. Ф-ии. больше чем на предыдыдущей, поскольку число верш. вып. многогр. конечно, то реализация СМ за конеч. число шагов приводит либо к оптимальному плану, либо к установлению неразрешимости задачи.

Процедура перехода основана на алгебре СМ

2. Схема реализации обобщенного метода множителей Лагранжа.

Описание м-да:

Ш 1 Параметр k(число учитываемых ограничений задачи) полагается равным нулю, исходная задача реш-ся без учета огр-ий. Если получ-е решение удовл-ет всем огр-ям исходной задачи, то она запоминается. Параметр k увеличивается на единицу: k:k+1.

Ш 2 активиз-ся(преобр-ся в равенство) любые к-огран-ий исходной задачи. Решается задача поиска экстремума целевой ф-ии, при усл-ии к-активных ограничений-равенств. Если полученное решение этой задачи удовл-ет всем огр-ям исходной, то получ-ся т. экстремума, явл-ся одним из допустимых решений исходной задачи; она запомин-ся, после чего актив-ся другие к-огран-ий исходной задачи и шаг 2 повтор-ся пока не будут рассм-ны и решены все задач связ-х с к-активными ограничениями-равенствами.

Ш 3 если к=m, вычисления заканчиваются. Все запомненные на предыдущих шагах реш-ия явл-ся допуст-ми реш-ми исходной задачи. Иначе след-ет положить: к=к+1 и перейти на шаг2.

Ш 4 все запомнен-е усл-ые локальные экст-мы сравнив-ся м/у собой по значению целевой ф-ии. Наилучший среди всех таких экстр-в явл-ся глобальным усл-ым экстремумом и оптимальным решением исходной задачи.

БИЛЕТ 39

1. теор. Двойств-ти

1-я теорема двойственности:

Если одна задача двойств-ти. пары имеет решение, то и вторая тоже имеет решение, причём значения целевых ф-ций этих задач на оптим планах равны мужду собой. Если целевая ф-ция одной из задач двойствен. пары не ограничена, то множество допустимых решений второй задачи пусто, и наоборот.

2-я теорема двойственности:

План y* прямой задачи(3)(4) и план x* двойствен. задачи(1)(2) являются оптим. планами своих задач тогда и только тогда, когда выполняется соотношение:

(Σ_j=1ⁿa_ijx^*_j - b_j)y*_i = 0, i = 1, m

(Σ_i=1^ma_ijy*_i – c_j)x*_j = 0, j = 1, n

Следствие:

Если какая либо компонента оптим. плана одной из задач двойств. пары отлична от 0, то соотв. ограничение другой задачи должно выполнятся как точное равенство. Если же какое либо ограничение одной из задач выполняется как строгое неравенство, то соотв. компонента оптим. плана другой задачи этой пары равны 0.

3-я теорема двойственности

Пусть f٭=f(x٭)- значение целевой ф-ии прямой задачи на оптимальном плане x٭,тогда двойственность можно найти по соотношениям:

y*i=df٭/dbi, i=1,m

2. Понятие элементарного преобразования СЛУ и виды элементарных преобразований СЛУ

Элементарное преобразование СЛУ – преобразования (целенаправленные изменения) , которые оставляют СЛУ эквивалентными.

К элементарным преобразованиям относятся следующие: